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高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

スライド↓     ノート↓
1. 集合 無料       【ノート
2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4.円順列・重複順列

4.1 円順列

例題 A,B,C,Dの4人が円形に座る方法は何通りあるか.

 円順列では,回転すると同じなるものは区別しない.従って次の4通りは,同じものとして区別しない:

 すると順列を考えるとき,同じものでないことをいちいち回転させてチェックしなければならず,わずらわしい.そこで次の考え方がポイントとなる:

ポイント 誰か1人を固定する.

 例えばAの座席を固定してしまうと,残り3人の座り方(順列)を考えればよいから,

$(4-1)!=3!=3\times2\times1=6$ (通り)

 一般に次が成り立つ:

円順列 異なる $n$ 個のものを円形に並べる方法は\[(n-1)!\ \mbox{通り}\]

4.2 数珠順列

例題 A,B,C,Dの4つの石でネックレスを作る方法は何通りあるか.

 数珠やネックレスといった持ち上げられるものは,回転させて同じになるものを区別しないのはもちろんのこと,ひっくり返して同じになるものも区別しない

線で結ばれたものは区別しない.

 すべて異なる石の場合必ず2つずつペアが存在するから,求めるものは円順列の総数の半分になる:

$\dfrac{(4-1)!}2=3$ (通り)

 一般に次が成り立つ:

数珠順列 異なる $n$ 個の石を用いてネックレスを作る方法は\[\frac{(n-1)!}2\ \mbox{通り}\]

4.3 重複順列

例題 1,2,3の3つの数を繰り返し用いることを許してできる2桁の数は何通りあるか.

枝の数が得らないのがポイント

 樹形図より,最初の枝が3本,その各枝からそれぞれ3本ずつ枝が出ているから,

$3\times3=3^2=9$ (通り)

 一般に次が成り立つ:

重複順列 異なる$n$個から重複を許して$r$個び,1列に並べる方法は\[ n^r\ \mbox{通り}\]


高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

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1. 集合 無料       【ノート
2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.