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高校数学[総目次]
数学A 第1章 場合の数
スライド | ノート | |
1. 集合 | [無料] | |
2. 場合の数 | [無料] | |
3. 順列 | [会員] | |
4. 円順列・重複順列 | [会員] | |
5. 組合せ | [会員] | |
6. 二項定理 | [会員] |
1.集合
1.1 集合
例 さいころの目
1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つの数を1つの集合とし,この集合を $A$ と名付けたとき,集合 $A$ を次のように書き表す:
\[A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\]
集合に含まれる1つ1つの数を,その集合の要素または元(げん)という.ある数 $x$ が集合 $A$ の要素であることを
\[x\in A\]
と書き表す.この場合,
\[1\in A,\ 2\in A,\ \cdots,6\in A\]
である.一方,ある数 $y$ が集合 $A$ の要素でない場合は
\[y\not\in A\]
で書き表す.例えば,
\[7\not\in A,\ \frac12\not\in A,\ -5\not\in A\]
など.
集合 $A$ の個数を $n(A)$ で書き表す:
\[n(A)=6\]
集合の表し方
列挙 :$A=\{1,2,3,4,5,6\}$
条件指定:$A=\{n\ |\ 1\leqq n\leqq 6,n$ は整数}
(バー‘|’の右に条件をかく.)
$B=\{2n\ |\ n$ は整数}
→ $B$ は偶数全体の集合
$C=\{x\ |\ -1\leqq x<2\}$
→ $C$ は $-1$ 以上2未満の実数の集合
1.2 部分集合
例
$A=\{1,\ 3,\ 6\}$
$B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$
$A$ は $B$ の部分集合であるといい,
$A\subset B$ (または $B\supset A$)
と表す:
$A\subset B\iff A$ のどの要素も $B$ の要素
また,2つの集合 $A$,$B$ の要素が完全に一致しているとき,すなわち $A\subset B$ かつ $A\supset B$ のとき,$A=B$ で表す:
$A=B\iff A\subset B$ かつ $A\supset B$
1.3 共通部分と和集合
例 $A=\{1,2,4,5\}$,$B=\{2,3,4\}$
$A$ と $B$ の共通部分:$A\cap B=\{2,4\}$
$A$ と $B$ の和集合 :$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$
2集合の公式 \[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]

3集合の公式 \[\begin{align*} n(A\cup B\cup C)=n&(A)+n(B)+n(C)\\[5pt] &-\{n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)\}\\[5pt] &+n(A\cap B\cap C) \end{align*}\]

1.4 いろいろな集合
空集合
- 要素が全くない集合.
- $\emptyset$ で表す.
- $\emptyset$ も集合の1つで,すべての集合の部分集合であると考える.
補集合
例
全体集合 $U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$
$A=\{2,\ 4,\ 6\}$
全体集合 $U$ の要素で,$A$ に属さない要素の集まりを$A$ の補集合といい,$\overline{A}$ で表す.上の例では
$\overline{A}=\{1,\ 3,\ 5\}$
補足
$\overline{\overline{A}}=A$
1.5 ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則1 \[\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\]

ド・モルガンの法則2 \[\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\]

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