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高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

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1. 集合 [無料]  
2. 場合の数 [無料]  
3. 順列 [会員]  
4. 円順列・重複順列 [会員]  
5. 組合せ [会員]  
6. 二項定理 [会員]  

1.集合

1.1 集合

 さいころの目

 1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つの数を1つの集合とし,この集合を $A$ と名付けたとき,集合 $A$ を次のように書き表す:

\[A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\]

 集合に含まれる1つ1つの数を,その集合の要素または(げん)という.ある数 $x$ が集合 $A$ の要素であることを

\[x\in A\]

と書き表す.この場合,

\[1\in A,\ 2\in A,\ \cdots,6\in A\]

である.一方,ある数 $y$ が集合 $A$ の要素でない場合は

\[y\not\in A\]

で書き表す.例えば,

\[7\not\in A,\ \frac12\not\in A,\ -5\not\in A\]

など.

 集合 $A$ の個数を $n(A)$ で書き表す:

\[n(A)=6\]

集合の表し方

 列挙  :$A=\{1,2,3,4,5,6\}$
 条件指定:$A=\{n\ |\ 1\leqq n\leqq 6,n$ は整数}
        (バー‘|’の右に条件をかく.)
      $B=\{2n\ |\ n$ は整数}
        → $B$ は偶数全体の集合
      $C=\{x\ |\ -1\leqq x<2\}$
        → $C$ は $-1$ 以上2未満の実数の集合

1.2 部分集合

  $A=\{1,\ 3,\ 6\}$
  $B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$

 $A$ は $B$ の部分集合であるといい,

$A\subset B$ (または $B\supset A$)

と表す:

$A\subset B\iff A$ のどの要素も $B$ の要素

 また,2つの集合 $A$,$B$ の要素が完全に一致しているとき,すなわち $A\subset B$ かつ $A\supset B$ のとき,$A=B$ で表す:

$A=B\iff A\subset B$ かつ $A\supset B$

1.3 共通部分と和集合

 $A=\{1,2,4,5\}$,$B=\{2,3,4\}$

 $A$ と $B$ の共通部分:$A\cap B=\{2,4\}$
 $A$ と $B$ の和集合 :$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

2集合の公式 \[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]

3集合の公式 \[\begin{align*} n(A\cup B\cup C)=n&(A)+n(B)+n(C)\\[5pt] &-\{n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)\}\\[5pt] &+n(A\cap B\cap C) \end{align*}\]

1.4 いろいろな集合

空集合

  • 要素が全くない集合.
  • $\emptyset$ で表す.
  • $\emptyset$ も集合の1つで,すべての集合の部分集合であると考える.

補集合

 全体集合 $U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$
 $A=\{2,\ 4,\ 6\}$

 全体集合 $U$ の要素で,$A$ に属さない要素の集まりを$A$ の補集合といい,$\overline{A}$ で表す.上の例では

$\overline{A}=\{1,\ 3,\ 5\}$

補足

 $\overline{\overline{A}}=A$

1.5 ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則1 \[\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\]

ド・モルガンの法則2 \[\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\]


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