1. 集合(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

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1. 集合	[無料]
2. 場合の数	[無料]
3. 順列	[会員]
4. 円順列・重複順列	[会員]
5. 組合せ	[会員]
6. 二項定理	[会員]

1．集合

1.1　集合

例　さいころの目

　1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つの数を1つの集合とし，この集合を $A$ と名付けたとき，集合 $A$ を次のように書き表す：

\[A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\]

　集合に含まれる1つ1つの数を，その集合の要素または元(げん)という．ある数 $x$ が集合 $A$ の要素であることを

\[x\in A\]

と書き表す．この場合，

\[1\in A,\ 2\in A,\ \cdots,6\in A\]

である．一方，ある数 $y$ が集合 $A$ の要素でない場合は

\[y\not\in A\]

で書き表す．例えば，

\[7\not\in A,\ \frac12\not\in A,\ -5\not\in A\]

など．

　集合 $A$ の個数を $n(A)$ で書き表す：

\[n(A)=6\]

集合の表し方

　列挙　　：$A=\{1,2,3,4,5,6\}$
　条件指定：$A=\{n\ |\ 1\leqq n\leqq 6,n$ は整数}
　　　　　　　　(バー‘｜’の右に条件をかく．)
　　　　　　$B=\{2n\ |\ n$ は整数}
　　　　　　　　→ $B$ は偶数全体の集合
　　　　　　$C=\{x\ |\ -1\leqq x<2\}$
　　　　　　　　→ $C$ は $-1$ 以上2未満の実数の集合

1.2　部分集合

例

　　$A=\{1,\ 3,\ 6\}$
　　$B=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$

　$A$ は $B$ の部分集合であるといい，

$A\subset B$　(または $B\supset A$)

と表す：

$A\subset B\iff A$ のどの要素も $B$ の要素

　また，2つの集合 $A$，$B$ の要素が完全に一致しているとき，すなわち $A\subset B$ かつ $A\supset B$ のとき，$A=B$ で表す：

$A=B\iff A\subset B$ かつ $A\supset B$

1.3　共通部分と和集合

例　$A=\{1,2,4,5\}$，$B=\{2,3,4\}$

　$A$ と $B$ の共通部分：$A\cap B=\{2,4\}$
　$A$ と $B$ の和集合　：$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

2集合の公式 \[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]

3集合の公式 \[\begin{align*} n(A\cup B\cup C)=n&(A)+n(B)+n(C)\\[5pt] &-\{n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)\}\\[5pt] &+n(A\cap B\cap C) \end{align*}\]

1.4　いろいろな集合

空集合

• 要素が全くない集合．
• $\emptyset$ で表す．
• $\emptyset$ も集合の1つで，すべての集合の部分集合であると考える．

補集合

例

　全体集合 $U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$
　$A=\{2,\ 4,\ 6\}$

　全体集合 $U$ の要素で，$A$ に属さない要素の集まりを$A$ の補集合といい，$\overline{A}$ で表す．上の例では

$\overline{A}=\{1,\ 3,\ 5\}$

補足

　$\overline{\overline{A}}=A$

1.5　ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則1 \[\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\]

ド・モルガンの法則2 \[\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\]

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