高校数学[総目次]
数学A 第1章 場合の数
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1. 集合 | [無料] | |
2. 場合の数 | [無料] | |
3. 順列 | [会員] | |
4. 円順列・重複順列 | [会員] | |
5. 組合せ | [会員] | |
6. 二項定理 | [会員] |
3.順列
3.1 順列
異なる $n$ 個のものから $r$ 個選び,それらを1列に並べる順列の総数は,
先頭の選び方が $n$ 通り
2番目の選び方が $(n-1)$ 通り
3番目の選び方が $(n-2)$ 通り
$\vdots$
$r$ 番目の選び方が $(n-r+1)$ 通り
となるから,
$n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-r+1)$ 通り
である.この式を
\[_n{\rm P}_r\]
と記号化する:
順列\[_n\mbox{P}_r\!=\!n(n\!-\!1)(n\!-\!2)\times\,\cdots\,\times(n\!-\!r\!+\!1)\]
補足
「P」は英語で順列を意味する Permutation の頭文字である.
例題 1,2,3,4から異なる2つを選んで1列に並べる方法は何通りあるか.
こたえ
$_4{\rm P}_2=4\times 3=12$ 通り
補足
樹形図を見れば,求める順列の総数を $4\times3$ で数えられることがよくわかる.すなわち最初の枝が4本,そのどの枝からも3本ずつ枝が出ているから,最後の枝は12本ある.
3.2 階乗
$_n{\rm P}_r$ において,特に $r=n$ のとき,すなわち異なる $n$ 個のものを1列に並べる順列の総数は, \[_n{\rm P}_n=n\!\times\!(n\!-\!1)\!\times\!(n\!-\!2)\!\times\!\cdots\!\times\!2\!\times\!1\] である.右辺を $\boldsymbol n$ の階乗といい, \[n\,!\] で表す.また, $n=0$ の場合は特別に\[0\,!=1\] と定める(定義する).
階乗 \[n\,!=\!n(n\!-\!1)(n\!-\!2)\times\,\cdots\,\times2\cdot 1\] 特に, \[0\,!=1\]
例題 1,2,3 の3つの数を1列に並べて得られる3桁の数は何個あるか.
こたえ
$3\,!=3\times2\times1=6$ 個
補足
最初の枝が3本,そのそれぞれから2本ずつ,そして更にその枝から1本ずつ出ている.
$_n$P$_r$ を階乗で表す
\[\begin{align*}
_n{\rm P}_r&=n(n\!-\!1)\!\times\!\cdots\!\times\!(n\!-\!r\!+\!1)\\[5pt]
&=\frac{n(n\!-\!1)\!\times\!\cdots\!\times\!(n\!-\!r\!+\!1)\cdot\boldsymbol{(n-r)\times\cdots\times2\times1}}{\boldsymbol{(n-r)\times\cdots\times2\times1}}\\[5pt]
&=\frac{n!}{(n-r)!}
\end{align*}\]
\[\therefore\ \ _n{\rm P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}\]
この式が $r=0$ でも成り立つように,
\[_n{\rm P}_0=1\]
と定める.
順列
\[_n\mbox{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}\]
特に,
\[_n\mbox{P}_0=1\]
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1 男子4人女子3人の7人が一列に並ぶとき,女子3人が隣り合う並び方は何通りあるか.
2 男子4人女子3人の7人が一列に並ぶとき,女子3人のうちどの2人も隣り合わない並び方は何通りあるか.
解答
1 男子4人女子3人の7人が一列に並ぶとき,女子3人が隣り合う並び方は何通りあるか.
「隣り合う」という条件では隣り合うべき人たちを一つにまとめて1人として扱うのが定石です.本問の場合,女子3人をひとかたまりとした「女」と男子4人の計5人の順列を考えます.
こたえ
女子3人を一つにまとめて「女」とする.男子4人と「女」の合計5人を一列に並ぶ方法は
$5!=5\times4\times3\times2\times1\times=120$(通り)