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高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

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1. 集合 無料       【ノート
2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5.組合せ

5.1 組合せ

組合せ 異なる$n$個のものから$r$個選ぶ組合せの総数は,\[_n\mbox{C}\,_r=\frac{_n\mbox{P}_r}{r!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\] 特に\[_n\mbox{C}\,_0=1\]

5.2 組合せの性質

\begin{align*} &[1]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_n\mbox{C}}\,_{n-r}\\[5pt] &[2]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_{n-1}\mbox{C}}\,_{r-1}+{_{n-1}\mbox{C}}\,_r\\[5pt] &[3]\ \ r\,_n\mbox{C}\,_r=n\,_{n-1}\mbox{C}\,_{r-1} \end{align*}

証明

[1] (左辺) $=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}$
  (右辺) $=\dfrac{n!}{\{n-(n-r)\}!(n-r)!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
  よって,(左辺) $=$ (右辺)

[2] \[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!(r\!-\!1)!}\!+\!\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!r\}!\,r!}\\[5pt] &=\frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!\,r!}\\[5pt] &=\frac{(n-1)!\{r+(n-r)\}}{(n-r)!\,r!}\ (\gets\mbox{通分して計算})\\[5pt] &=\frac{(n-1)!\times n}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}\]

[3] \[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=r\cdot\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt] &=n\cdot\frac{(n-1)!}{(n-r)!\,(r-1)!}\\[5pt] &=n\cdot\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!\,(r\!-\!1)!}\\[5pt] &=(\mbox{右辺}) \end{align*}\]

補足

5.3 同じものを含む順列

 1,1,2の3つの数を使って3桁の数は何通りできるか?


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数学A 第1章 場合の数

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2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.