高校数学[総目次]
数学A 第1章 場合の数
| スライド | ノート | |
| 1. 集合 | [無料] | |
| 2. 場合の数 | [無料] | |
| 3. 順列 | [会員] | |
| 4. 円順列・重複順列 | [会員] | |
| 5. 組合せ | [会員] | |
| 6. 二項定理 | [会員] |
5．組合せ
5.1 組合せ
$a,b,c$ の3文字から2文字を選んで一列に並べる順列は，
の6通りがある．このうち
$ab$ と $ba$，$bc$ と $cb$，$ca$ と $ac$
は選んだ文字がそれぞれ同じになっている．選んだ2つを一列に並べたりしないで，どの2つが選ばれたかだけに興味をもつならこのような重複を考慮して
$\{a,b\}$，$\{b,c\}$，$\{c,a\}$
の3組だけとなる．この各組を，異なる3個のものから2個を選ぶ組合せといい，その総数を
\[_3{\rm C}_2\]
で記号化する．すなわち $_3{\rm C}_2=3$ である．
順列 $_3{\rm P}_2$ との関係は，上の各組において順番まで考慮したものが順列であり，この場合だと各組合せから $2\,!=2\times1=2$(通り)の順列ができるから，
\[\begin{align*} _3{\rm C}_2\times2\,!&=\,_3{\rm P}_2\\[5pt] \therefore\ _3{\rm C}_2&=\frac{_3{\rm P}_2}{2!}\left(=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3\right) \end{align*}\]
一般に異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せは，
$_n{\rm C}_r=\dfrac{_n{\rm P}_r}{r\,!}$ (通り)
である．更に，$_n{\rm P}_r=\dfrac{n\,!}{(n-r)\,!}$ であったから，
\[_n{\rm C}_r=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}\]
とも書ける．
また，$_n{\rm C}_0=1$ と定める．
補足
「C」は英語で組合せを意味する ‘Combination’ の頭文字である．
組合せ 異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せの総数は，\[_n\mbox{C}\,_r=\frac{_n\mbox{P}_r}{r\,!}=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}\] 特に\[_n\mbox{C}\,_0=1\]
5.2 組合せの性質
\begin{align*} &[1]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_n\mbox{C}}\,_{n-r}\\[5pt] &[2]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_{n-1}\mbox{C}}\,_{r-1}+{_{n-1}\mbox{C}}\,_r\\[5pt] &[3]\ \ r\,_n\mbox{C}\,_r=n\,_{n-1}\mbox{C}\,_{r-1} \end{align*}
証明
[1] (左辺) $=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}$
(右辺) $=\dfrac{n!}{\{n-(n-r)\}!\,(n-r)!}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$
よって，(左辺) $=$ (右辺)
[2]
\[\begin{align*}
(\mbox{右辺})&=\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!\,(r\!-\!1)!}\!+\!\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!r\}!\,r!}\\[5pt]
&=\frac{(n-1)!}{(n-r)!\,(r-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!\,r!}\\[5pt]
&=\frac{(n-1)!\{r+(n-r)\}}{(n-r)!\,r!}\ (\gets\mbox{通分して計算})\\[5pt]
&=\frac{(n-1)!\times n}{(n-r)!\,r!}\\[5pt]
&=\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt]
&=(\mbox{左辺})
\end{align*}\]
[3]
\[\begin{align*}
(\mbox{左辺})&=r\cdot\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\\[5pt]
&=n\cdot\frac{(n-1)!}{(n-r)!\,(r-1)!}\\[5pt]
&=n\cdot\frac{(n-1)!}{\{(n\!-\!1)\!-\!(r\!-\!1)\}!\,(r\!-\!1)!}\\[5pt]
&=(\mbox{右辺})
\end{align*}\]
■
補足
上の性質は，次のように考えると理解しやすい．
[1] $n$ 人から $r$ 人の掃除当番を決めるのに，掃除当番でない $n-r$ 人を決めれば，残りが自動的に掃除当番となる．
[2] パスカルの三角形
\[_4{\rm C}_1=\,_3{\rm C}_0+\,_3{\rm C}_1\]
[3]
$r\,_n{\rm C}_r$：$n$ 人から $r$ 人のグループを作り，更にその中からボスを選ぶ．
$n\,_{n-1}{\rm C}_{r-1}$：まずボスを決めて，残りの $n-1$ 人からグループに入る $r-1$ 人を選ぶ．
5.3 同じものを含む順列
例題 1,1,2の3つの数を使って3桁の数は何通りできるか．
2つある1を，$1_a$，$1_b$ と区別する：
全6通りのうち，2つ$(=2!)$ ずつ同じものがあるから，
$\dfrac{3!}{2!}=\dfrac{3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=3$ 通り
$n$ 個のうち，$p$ 個の同じもの，$q$ 個の同じもの，$r$ 個の同じものがあり，これらを1列に並べる場合が何通りあるかを考える．まずはどんなに同じに見えるものでも区別して順列を考えると $n!$ 通り．このうち，$p!$ 通りの区別のできないものが含まれる，即ち $n!$ 通りの中には $p!$ 重カウントされているものがあるから $p!$ で割る．同様に $q!$ 重カウント，$r!$ 重カウントになっているものがあるからそれらを割る．
一般に次が成り立つ：
重複順列
$n$ 個のうち，$p$ 個の同じもの，$q$ 個の同じもの，$r$ 個の同じものがるとき，これらを1列に並べる方法は，\[\frac{n!}{p!\,q!\,r!} \ \ \mbox{通り}\]
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演習問題
1 6人をX，Y，Zの3つのグループに2人ずつ分ける方法は何通りあるか．
2 6人を2人ずつ3つのグループに分ける方法は何通りあるか．
ヒント 問題1との違いに注意が必要です．
3 AからBに最短で行く方法は何通りあるか．
ヒント 計算一発で求める方法とコツコツ書き込む方法があります．
4 $x,y,z$ は0以上の整数とする．$x+y+z=10$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント 計算一発で求める上手い方法があります．
5 $x,y,z$ は整数とする．$x+y+z=10$，$x\geqq 2$，$y\geqq1$，$z\geqq0$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント 問題4に制限が付きましたが，ちょっと工夫するだけで問題4と同じ設定に帰着できます．
6 $x,y,z$ は0以上の整数とする．$x+y+z=10$，$x\leqq 5$，$y\leqq5$，$z\leqq5$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント 「以下」は「以上」よりずっと状況が複雑です．でも発想の転換で実はこれも問題4と同じ設定に帰着できます．
7 $x,y,z$ は整数とする．$1\leqq x<y<z\leqq10$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント $x,y,z$ には大小関係があるので順列の問題かと思いきや，実は組合せの問題です．
8 $x,y,z$ は整数とする．$1\leqq x\leqq y\leqq z\leqq10$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント 問題7との違いに注意してください．ちょっとした工夫で計算一発で解決です．
9 $x,y,z$ は自然数とする．$x+y+z\leqq10$ となる $(x,y,z)$ の組は何通りあるか．
ヒント 計算一発で解決する工夫を考えてみてください．
解答
1 6人をX，Y，Zの3つのグループに2人ずつ分ける方法は何通りあるか．
X，Y，Zのどのグループから決めても問題はありません．
こたえ
Xの選び方が
$_6{\rm C}_2=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=15$(通り)
その各々に対してYの選び方が