高校数学[総目次]
数学A 第1章 場合の数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 集合 | |||
| 2. 場合の数 | |||
| 3. 順列 | |||
| 4. 円順列・重複順列 | |||
| 5. 組合せ | |||
| 6. 二項定理 |
5．組合せ
5.1 組合せ
数学における「組合せ」とは
$a,b,c$ の3文字から2文字を選んで一列に並べる順列は，
の6通りがある．このうち
$ab$ と $ba$，$bc$ と $cb$，$ca$ と $ac$
は選んだ文字がそれぞれ同じになっている．選んだ2つを一列に並べたりしないで，どの2つが選ばれたかだけに興味をもつならこのような重複を考慮して
$\{a,b\}$，$\{b,c\}$，$\{c,a\}$
の3組だけとなる．この各組を，異なる3個のものから2個を選ぶ組合せといい，その総数を
\[_3{\rm C}_2\]
で記号化する．すなわち $_3{\rm C}_2=3$ である．
組合せと順列の関係
順列 $_3{\rm P}_2$ との関係は，上の各組において順番まで考慮したものが順列であり，この場合だと各組合せから $2\,!=2\times1=2$(通り)の順列ができるから，
\[\begin{align*} _3{\rm C}_2\times2\,!&=\,_3{\rm P}_2\\[5pt] \therefore\ _3{\rm C}_2&=\frac{_3{\rm P}_2}{2!}\left(=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3\right) \end{align*}\]
一般に異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せは，
$_n{\rm C}_r=\dfrac{_n{\rm P}_r}{r\,!}$ (通り)
である．更に，$_n{\rm P}_r=\dfrac{n\,!}{(n-r)\,!}$ であったから，
\[_n{\rm C}_r=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}\]
とも書ける．
また，$_n{\rm C}_0=1$ と定める．
補足
「C」は英語で組合せを意味する ‘Combination’ の頭文字である．
組合せ 異なる $n$ 個のものから $r$ 個選ぶ組合せの総数は，\[_n\mbox{C}\,_r=\frac{_n\mbox{P}_r}{r\,!}=\frac{n\,!}{(n-r)\,!\,r\,!}\] 特に\[_n\mbox{C}\,_0=1\]
5.2 組合せの種々の公式
$ _n\mbox{C}\,_r$ を使ったいくつかの公式
$ _n\mbox{C}\,_r$ を使ったいくつかの公式を確認しておこう．
\begin{align*} &[1]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_n\mbox{C}}\,_{n-r}\\[5pt] &[2]\ \ _n\mbox{C}\,_r={_{n-1}\mbox{C}}\,_{r-1}+{_{n-1}\mbox{C}}\,_r\\[5pt] &[3]\ \ r\,_n\mbox{C}\,_r=n\,_{n-1}\mbox{C}\,_{r-1} \end{align*}
[1]は利用頻度が高く，例えば $ _9\mbox{C}\,_7$ などを計算したいときに大いに助かる．[2]と[3]はやや程度が高い．