1．座標平面上の点【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

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1. 座標平面上の点
2. 直線の方程式
3. 円の方程式
4. 円と直線
5. 軌跡と方程式
6. 不等式と領域

演習問題

問題１【基本】
数直線上に2点A $(-2)$ とB( $8$ )について，次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $1:2$ に内分する点P
(2) 線分ABを $3:2$ に外分する点Q
(3) 線分BAを $2:3$ に外分する点R

問題２【基本】
数直線上に3点A(1)、B(5)、C( $x$ )について，点Cが線分ABを $m:n$ に内分するとき， $x$ を $m$ と $n$ で表せ．また，点Cが線分ABの中点であるとき， $x$ の値を求めよ．

問題３【基本】
座標平面上に2点A $(2, 3)$ とB $(6, 1)$ がある．次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $3:1$ に内分する点P
(2) 線分ABの中点M
(3) 線分ABを $2:1$ に外分する点Q

問題４【基本】
3点A $(-1, 2)$ , B $(3, -5)$ , C $(4, 8)$ を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ．

問題５【基本】
点A $(4, -7)$ と点P $(-2, 1)$ がある．点Aと点Pに関して対称な点Bの座標を求めよ．

問題６【基本】
座標平面上に3点 A $(1,\,3)$ 、B $(4,\,2)$ 、C $(2,\,6)$ がある．
(1) 線分ABの長さを求めよ．
(2) 三角形ABCはどのような三角形か．

問題1【基本】

数直線上に2点A $(-2)$ とB( $8$ )について，次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $1:2$ に内分する点P
(2) 線分ABを $3:2$ に外分する点Q
(3) 線分BAを $2:3$ に外分する点R

解答

点Aの座標を $a = -2$ ，点Bの座標を $b = 8$ とします．

(1) 線分ABを $1:2$ に内分する点P

内分点の公式より，

$\dfrac{n a + m b}{m + n}$

ここで $m:n = 1:2$ なので， $m=1, n=2$ です．

$\frac{2 \times (-2) + 1 \times 8}{1 + 2}=\frac{-4 + 8}{3}=\frac{4}{3}$

よって，点Pの座標は $\displaystyle \frac{4}{3}$ です．

(2) 線分ABを $3:2$ に外分する点Q

外分点の公式より，

$\frac{-n a + m b}{m-n}$

ここで $m:n = 3:2$ なので， $m=3, n=2$ です．

$x = \frac{-2 \times (-2) + 3 \times 8}{3-2}=\frac{4 + 24}{1}=28$

よって，点Qの座標は 28 です．

(3) 線分BAを $2:3$ に外分する点R

Bを始点，Aを終点と考え，Bの座標を $b = 8$ ，Aの座標を $a = -2$ とします．
外分点の公式より，

$\frac{-n b + m a}{m-n}$

ここで $m=2, n=3$ です．

$\frac{-3 \times 8 + 2 \times (-2)}{2-3}= \frac{-24 – 4}{-1} = 28$

よって，点Rの座標は 28 です．

問題２【基本】

数直線上に3点A(1)、B(5)、C( $x$ )について，点Cが線分ABを $m:n$ に内分するとき， $x$ を $m$ と $n$ で表せ．また，点Cが線分ABの中点であるとき， $x$ の値を求めよ．

解答

点Aの座標を $a = 1$ ，点Bの座標を $b = 5$ とします．
点CがABを $m:n$ に内分する場合，内分点の公式より，

$x=\dfrac{na+nb}{m+n}=\frac{n\cdot1 + m \cdot5}{m + n}=\dfrac{5m+n}{m+n}$

また，点Cが線分ABの中点である場合（ $m = n$ ），

$x = \frac{a + b}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

問題３【基本】

座標平面上に2点A $(2, 3)$ とB $(6, 1)$ がある．次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $3:1$ に内分する点P
(2) 線分ABの中点M
(3) 線分ABを $2:1$ に外分する点Q

解答

(1) 線分ABを3:1に内分する点Pの座標

点Aの座標を $(x_1, y_1) = (2, 3)$ ，点Bの座標を $(x_2, y_2) = (6, 1)$ とします．
内分点の公式より，

$x = \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}$

$y = \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}$

ここで $m:n = 3:1$ なので， $m=3, n=1$ です．

$x = \frac{1 \times 2 + 3 \times 6}{3 + 1} = \frac{2 + 18}{4} = 5$

$y = \frac{1 \times 3 + 3 \times 1}{3 + 1} = \frac{3 + 3}{4} =\dfrac32$

よって，点Pの座標は $\left(5, \dfrac32\right)$ です．

(2) 線分ABの中点Mの座標

中点の公式より，

$x = \frac{x_1 + x_2}{2},\ y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$x = \frac{2 + 6}{2} = 4,\ y = \frac{3 + 1}{2} = 2$

よって，中点Mの座標は (4, 2) です．

(3) 線分ABを2:1に外分する点Qの座標

外分点の公式より，

$x = \frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}$

$y = \frac{-n y_1 + m y_2}{m-n}$

ここで $m=2, n=1$ です．

$x = \frac{-1 \times 2 + 2 \times 6}{2-1} = \frac{-2 + 12}{1} = 10$

$y = \frac{-1 \times 3 + 2 \times 1}{2-1} = \frac{-3 + 2}{1} = -1$

よって，点Qの座標は $(10, -1)$ です．

問題４【基本】

3点A $(-1, 2)$ , B $(3, -5)$ , C $(4, 8)$ を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ．

解答

点Aの座標を $(-1, 2)$ ，点Bの座標を $(3, -5)$ ，点Cの座標を $(4, 8)$ とします．
重心の座標 $(x,\ y)$ は公式より，

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

よって
$x = \frac{-1 + 3 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{2 + (-5) + 8}{3} = \frac{5}{3}$

よって，重心Gの座標は $\left(2, \dfrac53\right)$ です．

問題５【基本】

点A $(4, -7)$ と点P $(-2, 1)$ がある．点Aと点Pに関して対称な点Bの座標を求めよ．

解答

点Aの座標を $(4, -7)$ ，点Pの座標を $(-2, 1)$ とします．
点Pが点Aと点Bの中点となるので，点Bの座標を $(x, y)$ とすると，

$\frac{4 + x}{2} = -2$

$\frac{-7 + y}{2} = 1$

それぞれの式を解くと，

$4 + x = -4 \implies x = -8$

$-7 + y = 2 \implies y = 9$

よって，点Bの座標は $(-8, 9)$ です．

問題６【基本】

座標平面上に3点 A $(1,\,3)$ 、B $(4,\,2)$ 、C $(2,\,6)$ がある．
(1) 線分ABの長さを求めよ．
(2) 三角形ABCはどのような三角形か．

解答

(1) 2点間の距離の公式により

$\begin{align*} {\rm AB}&=\sqrt{(4-1)^2+(2-3)^2}\\[5pt] &= \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \end{align*}$

よって，ABの長さは $\sqrt{10}$ です．

(2) 他の2辺の長さを計算すると，

$\begin{align*} \text{AC} &= \sqrt{(2-1)^2 + (6-3)^2}\\[5pt] & = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{BC} &= \sqrt{(2-4)^2 + (6-2)^2}\\[5pt] & = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \end{align*}$

AB = AC = $\sqrt{10}$ で，2辺の長さが等しいことが分かります．

よって，△ABCはAB=ACの二等辺三角形です．