2. 無限等比数列【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

	スライド	ノート	問題
1. 数列の極限	[無料]
2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
5. 関数の極限
6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性

2．無限等比数列

2.1 $r^n$ の極限

　ここでの話題は等比数列である．初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の一般項は $a{r}^{n-1}$ と表された．ここでは初項も公比も $r$ とした等比数列 $\{r^n\}$ の極限がどのようになるのかを見ていこう．

　例えば $r=2$ のとき，

$$2,4,8,16,,\cdots$$

となるから，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^n=\mathrm{\infty }}$ となる．この状況は $r$ が3や4でも同じ結果となろう．一方，$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき，

$${\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{16}},\cdots$$

となるからとなるから，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n=0}$ となる．この状況は $r$ が ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ や ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ でも同じ結果となろう．では $r=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の場合はどうか．

$$-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{16}},\cdots$$

となるから，符号を交互に変えながら0に収束する．

　こういった違いが生じる $r$ の条件は何かといえば，それは

$r$ の絶対値が１より大きいか小さいか

である．特別な場合として， $|r|=1$，すなわち $r=1$ または $-1$ の場合が残されている．以上の考察を踏まえて一般論を展開していこう．

　初項も公比も $r$ である無限等比数列

$$r,r^2,r^3,\cdots ,r^{n-1},\cdots$$

の極限を考える．

1. $r>1$ のとき
   　$r=1+h(h>0)$ とおくと $$\begin{array}{rl}{r}^n& =(1+h{)}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{{}_n\mathrm{C}}_k{h}^k(\because \text{二項定理})}\\ & =1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2+\cdots +h^n\\ & >nh(\because h>0).\end{array}$$ 　ここで，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}nh=\mathrm{\infty }}$（$\because h$ は正の定数）であるから，追い出しの原理により，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=\mathrm{\infty }}$．
   ※二項定理についてはこちら
2. $r=1$ のとき
   　$r^n$ は常に1であるから， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=1．$$
3. $|r|<1$ のとき
   i) $r=0$ のとき，$r^n=0$ により， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=0．$$ ii) $r\ne 0$ のとき，$\left|{\displaystyle \frac{1}{r}}\right|>1$ により ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left|{\displaystyle \frac{1}{r}}\right|}^n=\mathrm{\infty }}$．（$\because$ 上の1.）
   　故に， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{{\left|{\displaystyle \frac{1}{r}}\right|}^n}}=0\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|r{|}^n=0.\cdots \text{①}$$ 　一方，$-|r{|}^n\leqq r^n\leqq |r{|}^n$ で，この左辺も ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{-|r{|}^n\}=0}$（$\because$ ①）となるから，はさみうちの原理により， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=0.$$ 　i)，ii)から，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=0}$．
4. $r\leqq -1$ のとき
   i) $r=-1$ のとき，$\{r^n\}$ は振動する．
   ii) $r<-1$ のとき，$-r=R$ とおくと，$R>1$ により $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}^n=\mathrm{\infty }（\because \text{上の}1.)$$ であるが，$r^n=(-1{)}^n{R}^n$ により，$\{r^n\}$ は符号を交互に変える．
   　従ってこのときも振動する．

まとめ 　無限等比数列$\{r^n\}$ について $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& (r>1\text{のとき})\\ 1& (r=1\text{のとき})\\ 0& (|r|<1\text{のとき})\end{array}$$ 　$r\leqq -1$ のとき，$\{r^n\}$ は振動する．

例

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{1.001}^n=\mathrm{\infty }\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{0.999}^n=0\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-0.5{)}^n=0\end{array}$$

　上のまとめにより，次の命題が成り立つ：

無限等比数列の収束条件 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n\text{が収束する}⟺-1<r\leqq 1$$ 　特に $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=0⟺|r|<1(⟺-1<r<1)$$

例題　$a_n=(x^2+x-1{)}^n$ が収束する $x$ の値の範囲を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$-1<x^2+x-1\leqq 1$ により
　前半：$x^2+x>0$　$\therefore x<-1,0<x\cdots$①
　後半：$x^2+x-2\leqq 0$　$\therefore -2\leqq x\leqq 1\cdots$②
　①かつ②より，$\underset{―}{-2\leqq x<-1,0<x\leqq 1}$

2.2 初項と漸化式で定められる数列

例題　$a_1=2,a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+3$ のとき，数列$\{a_n\}$ の極限を求めよ．

答

　解答例を表示する

一般項は，$a_n=-4{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}+6$ となるから， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=6.$$

補足1

　$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ と $y=x$ のグラフを考える：

　図のように，$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+3$ の極限値は，（もし存在すれば）2直線 $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ と $y=x$ の交点の $x$ 座標を求める方程式 $$x=\frac{1}{2}x+3$$ の解6である．

注意

$\{a_n\}$ が収束しないなら，交点が存在しても，その交点の $x$ 座標は当然 $\{a_n\}$ の極限値ではない．

例

　$a_1={\displaystyle \frac{3}{4}},a_{n+1}=2a_n-1$ の極限を求めよ．

　$x=2x-1,\therefore x=1$
　$a_n=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 2^{n-1}+1\to -\mathrm{\infty }(n\to \mathrm{\infty })$

補足

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$ とすれば，漸化式の両辺を $n\to \mathrm{\infty }$ として

$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha +3.$（これを特性方程式という）

　よって，$\alpha =6$．

2.3 数列 $\left\{\frac{r^n}{n}\right\}(r>1)$ の極限

　$r=1+h(h>0)$ とおくと，十分大きな $n$ について $$\begin{array}{rl}{r}^n& =(1+h{)}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{{}_n\mathrm{C}}_k{h}^k(\because \text{二項定理})}\\ & =1+nh+\frac{n(n-1)}{2}{h}^2+\cdots +h^n\\ & >\frac{n(n-1)}{2}{h}^2(\because h>0)\end{array}$$ 　よって，${\displaystyle \frac{r^n}{n}}>{\displaystyle \frac{n-1}{2}}{h}^2$．
　ここで，$n\to \mathrm{\infty }$ のとき，(右辺) $\to \mathrm{\infty }$ となるから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{r^n}{n}=\mathrm{\infty }$$

補足

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{r^n}{n}}}$ は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ の形であるが，$n$ が大きくなるにつれ，数列$\{r^n\}$ の方が，数列$\{n\}$ よりも急激に大きくなることを意味する．

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