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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第2章 三角比

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1. 正接,正弦,余弦 [無料]  
2. 三角比の相互関係 [無料]  
3. 三角比の拡張 [会員]  
4. 正弦定理 [会員]  
5. 余弦定理 [会員]  
6. 三角形の面積 [会員]  

1.正接・正弦・余弦

1.1 正接(tan)

 △ABC∽△AB’C’∽△AB”C” より, \[\frac{{\rm BC}}{{\rm AC}}=\frac{{\rm B’C’}}{{\rm AC’}}=\frac{{\rm B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}}{{\rm AC^{\prime\prime}}}\]  この値は$\angle{\rm A}$の大きさのみで決まる.

定義
 図において,$\dfrac ab$を角θの正接 (tangent タンジェント)といい,$\tan\theta$ で表す: \[\tan\theta=\frac ab\]

\[\begin{array}{lll} \tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}, & \tan45^\circ=1, & \tan60^\circ=\sqrt3 \end{array}\]

補足1

 三角比の値は,有理化しないことも多い.

補足2

$\tan\alpha=\dfrac ab$ より,$a=b\tan\alpha$

$\tan\beta=\dfrac ba$ より,$b=a\tan\beta$

1.2 正弦(sin)・余弦(cos)

定義
 図において,
 $\dfrac ac$ を,角θの正弦 (sine サイン)といい,$\sin\theta$ で表す.
 $\dfrac bc$ を,角θの余弦 (cosine コサイン)といい,$\cos\theta$ で表す. \[\begin{align*} &\sin\theta=\frac ac\\[5pt] &\cos\theta=\frac bc \end{align*}\]

\[\begin{array}{lll} \sin30^\circ=\dfrac12 & \sin45^\circ=\dfrac1{\sqrt2} & \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\\[5pt] \cos30^\circ=\dfrac {\sqrt3}2 & \cos45^\circ=\dfrac1{\sqrt2} & \cos60^\circ=\dfrac12 \end{array}\]

補足

$\sin\theta=\dfrac ac$ より,$a=c\sin\theta$

$\cos\theta=\dfrac bc$ より,$b=c\cos\theta$

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