1．正接，正弦，余弦(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第2章　三角比

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1．正接・正弦・余弦

1.1　正接(tan)

　上の図において，△ABC∽△AB’C’∽△AB”C” であるから， \[\frac{{\rm BC}}{{\rm AC}}=\frac{{\rm B’C’}}{{\rm AC’}}=\frac{{\rm B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}}{{\rm AC^{\prime\prime}}}\] が成り立つ．この比(分数)の値は直角三角形の大きさにはよらず，$\angle{\rm A}$の大きさのみで決まる．

　図の $\angle{\rm A}$ について，直角三角形の $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ を $\angle{\rm A}$ の正接(せいせつ，タンジェント)という．

覚え方

例

　次の3つの直角三角形は，3つの辺の比が簡単な値であることから特別な直角三角形として最もよく利用される．辺の比が図のようになることは三平方の定理(の逆)から確認できる．

\[\begin{array}{lll} \tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}, & \tan45^\circ=1, & \tan60^\circ=\sqrt3 \end{array}\]

補足1

　$\tan$ の値は，例えば $\tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}$ のように分母を有理化しないことも多い．この理由としては，$\dfrac{\sqrt3}3$ よりも表現がシンプルであることや，$\dfrac1{\sqrt3}$ の方が上の図のような直角三角形の辺の比をイメージしやすいことなどが考えられる．

補足2

　次の2つの式は $\tan$ の分母を払っただけのものであるが，辺の長さを $\boldsymbol{\tan}$ で表現したものとして今後用いられる場面がある．

$\tan\alpha=\dfrac ab$ より，$a=b\tan\alpha$

$\tan\beta=\dfrac ba$ より，$b=a\tan\beta$

1.2　正弦(sin)・余弦(cos)

　$\tan$ のときと同様に三角形の相似を考えると

\[\frac{{\rm BC}}{{\rm AB}}=\frac{{\rm B’C’}}{{\rm AB’}}=\frac{{\rm B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}}{{\rm AB^{\prime\prime}}}\]

\[\frac{{\rm AC}}{{\rm BA}}=\frac{{\rm AC’}}{{\rm B’A}}=\frac{{\rm AC^{\prime\prime}}}{{\rm B^{\prime\prime}A}}\]

といった比(分数)の値が，直角三角形の大きさによらず，$\angle{\rm A}$の大きさのみで決まる．

　図の $\angle{\rm A}$ について，直角三角形の $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{斜辺}}$ を $\angle{\rm A}$ の正弦(せいげん，サイン)といい，$\dfrac{\mbox{底辺}}{\mbox{斜辺}}$ を $\angle{\rm A}$ の余弦(よげん，コサイン)という．

覚え方

例

　$\sin,\ \cos$ も $\tan$ のときと同様に，次の特別な直角三角形における角が最もよく利用される．

\[\begin{array}{lll} \sin30^\circ=\dfrac12 & \sin45^\circ=\dfrac1{\sqrt2} & \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\\[5pt] \cos30^\circ=\dfrac {\sqrt3}2 & \cos45^\circ=\dfrac1{\sqrt2} & \cos60^\circ=\dfrac12 \end{array}\]

　$\tan\theta$ も含めて表にすると次のようになる：

$\theta$	30°	45°	60°
$\sin\theta$	$\dfrac12$	$\dfrac1{\sqrt2}$	$\dfrac{\sqrt3}2$
$\cos\theta$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac1{\sqrt2}$	$\dfrac12$
$\tan\theta$	$\dfrac1{\sqrt3}$	1	$\sqrt3$

　この表にある30°，45°，60°以外の三角比の値は，簡単に求めることはできない．例えば$\sin17^\circ$ の正確な値を，直角三角形の辺の長さから求めようと思ってもそれは無理な話である．どの数学Ⅰの教科書の巻末にも，1° 刻みで三角比の値の近似値が表になって与えられている．

補足

　次の2つの式は $\tan$ のときと同様に分母を払っただけのものであるが，辺の長さを $\boldsymbol{\sin,\ \cos}$ で表現したものとして今後用いられる場面がそれなりにある．

$\sin\theta=\dfrac ac$ より，$a=c\sin\theta$

$\cos\theta=\dfrac bc$ より，$b=c\cos\theta$

次は，2．三角比の相互関係

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数学Ⅰ　第2章　三角比

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