1.座標を用いた三角比の定義

 原点Oを中心とする半径 $r$ の円周上に点Pがあり,その座標を $(x,\ y)$ とする.

θ が鋭角のとき

\[\sin\theta=\frac yr,\ \cos\theta=\frac xr,\ \tan\theta=\frac yx\]

θ が鈍角のとき

 θが鋭角のときの式を,そのまま鈍角にも適用する.

\[\sin\theta=\frac yr,\ \cos\theta=\frac xr,\ \tan\theta=\frac yx\]

 $\theta=0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ$ のときも同様に定義すると,$0\leqq \theta\leqq180^\circ$ の三角比は次のようになる:

0°から180°までの三角比  原点Oを中心とする半径 $r$ の円周上にある点をP$(x,\ y)$ とし,OPと $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると, \[\begin{align*} &\sin\theta=\frac yr\\[5pt] &\cos\theta=\frac xr\\[5pt] &\tan\theta=\frac yx \end{align*}\]

例1 $\theta=120^\circ$

 半径2の円を考えると,P$(-1,\sqrt3),\ r=2$より, \[\begin{align*} &\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos120^\circ=\frac{-1}2=-\frac12\\[5pt] &\tan120^\circ=\frac{\sqrt3}{-1}=-{\sqrt3} \end{align*}\]

例2 $\theta=0^\circ$

 半径 $r$ の円を考えると,P$(r,\ 0)$より, \[\begin{align*} &\sin0^\circ=\frac0r=0\\[5pt] &\cos0^\circ=\frac rr=1\\[5pt] &\tan0^\circ=\frac0r=0 \end{align*}\]

例3 $\theta=90^\circ$

 半径 $r$ の円を考えると,P$(0,\ r)$より, \[\begin{align*} &\sin90^\circ=\frac rr=1\\[5pt] &\cos90^\circ=\frac 0r=0\\[5pt] &\tan90^\circ=\frac r0\ \mbox{となるから定義されない} \end{align*}\]

例4 $\theta=180^\circ$

 半径 $r$ の円を考えると,P$(-r, 0)$より, \[\begin{align*} &\sin180^\circ=\frac0r=0\\[5pt] &\cos180^\circ=\frac {-r}r=-1\\[5pt] &\tan180^\circ=\frac0{-r}=0 \end{align*}\]


 0° から180° までで,三角比の値が簡単なものをまとめると次のようになる:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0^\circ & 30^\circ& 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ\\ \hline \sin\theta & 0 & \dfrac12 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \cos\theta & 1 & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac12 & 0\\ \hline \tan\theta & 0 & \dfrac1{\sqrt3} & 1 & \sqrt3 & \times\\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & 90^\circ & 120^\circ& 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ\\ \hline \sin\theta & 1 & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac12 & 0\\ \hline \cos\theta & 0 & -\dfrac12 & -\dfrac1{\sqrt2} & -\dfrac{\sqrt3}2 & -1\\ \hline \tan\theta & \times & -\sqrt3 & -1 & -\dfrac1{\sqrt3} & 0\\ \hline \end{array}\]

2.単位円における三角比

 原点Oを中心とする半径1の円(単位円)の周上に点Pがあり,線分OP が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ として三角比を考える.

2.1 単位円における三角比

θが鋭角のとき
θが鈍角のとき

\[\begin{align*} &\sin\theta=\frac y1=y\\[5pt] &\cos\theta=\frac x1=x\\[5pt] &\tan\theta=\frac yx \end{align*}\]

単位円における三角比  原点Oを中心とする半径1の円周上にある点をP$(x,\ y)$ とし,OPと $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると, \[\begin{align*} &\sin\theta=y\\[5pt] &\cos\theta=x\\[5pt] &\tan\theta=\frac yx \end{align*}\]

2.2 三角比がとりうる値の範囲

 点Pが $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲を動くとき,$x,\ y$ の取りうる値の範囲は,

\[\begin{align*} -1\leqq &\ x\leqq 1\\[5pt] 0\leqq &\ y\leqq 1 \end{align*}\]

 $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ であったから,

\[\begin{align*} 0\leqq &\ \sin\theta\leqq 1\\[5pt] -1\leqq &\ \cos\theta\leqq 1 \end{align*}\]

 また,$\tan\theta=\dfrac yx$ はすべての実数値をとり得る.以上より,まとめると次のようになる:

三角比がとりうる値の範囲
 $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき, \[\begin{align*} 0\leqq &\ \sin\theta \leqq 1\\[5pt] -1\leqq &\ \cos\theta\leqq 1\\[5pt] \tan\theta\ \mbox{はすべて}& \mbox{の実数値をとり得る} \end{align*}\]

2.3 三角比の符号

3.180°-θの三角比

 θが鋭角のとき

 ${\rm P}(x,\ y)$ とし,線分OP が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると,

\[\sin\theta =y ,\ \cos\theta =x,\ \tan\theta=\frac yx\]

 よって,$180^\circ-\theta$ の三角比は点${\rm Q}(-x,\ y)$ を用いて,

\[\begin{align*}&\sin(180^\circ-\theta)=y=\sin\theta\\[5pt] &\cos(180^\circ-\theta)=-x=-\cos\theta\\[5pt] &\tan(180^\circ-\theta)=-\frac yx=-\tan\theta \end{align*}\]

 $\theta$ が90°以上のときも同様に考えると,結果は鋭角の場合と全く同じになる.

180°-θ の三角比 \[\begin{align*}&\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\\[5pt] &\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\\[5pt] &\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta \end{align*}\]

4.等式を満たすθ

 ポイント
 単位円をかいて, \[\sin\theta\to y,\ \cos\theta\to x\]

例題1 $0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき,$\sin\theta=\dfrac12$ を満たす $\theta$ は?

 $y=\dfrac12$ となる $\theta$ を求めると,$\theta=30^\circ ,\ 150^\circ$

例題2 $0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき,$\cos\theta=-\dfrac1{\sqrt2}$ を満たす $\theta$ は?

 $x=-\dfrac1{\sqrt2}$ となる $\theta$ を求めると,$\theta=135^\circ$

例題3 $0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき,$\tan\theta=-\sqrt3$ を満たす $\theta$ は?

 図より,$\theta=120^\circ$

5.三角比の相互関係

 図において,$90^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ のとき,

\[x^2+y^2=1\]

が成り立つから,以下の三角比の相互関係が$90^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ でもそのまま成り立つ:

三角比の相互関係
 $0^\circ\leqq\theta \leqq 180^\circ$ のとき,次が成り立つ: \[\begin{align*} &\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[5pt] &\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\[5pt] &1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} \end{align*}\]

 $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする.$\cos\theta=-\dfrac34$ のとき,$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ.

 $\cos\theta < 0$ であるから,$\theta$ は鈍角.
 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より, \[\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(-\frac34\right)^2=\frac7{16}\]  $\sin\theta > 0$ であるから,$\boldsymbol{\sin\theta=\dfrac{\sqrt7}4}$
 よって,$\boldsymbol{\tan\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\frac{\sqrt7}4}{-\frac34}\boldsymbol{=-\dfrac{\sqrt7}3}$