5．余弦定理(ノート)
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数学Ⅰ　第2章　三角比

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5．余弦定理

5.1　余弦定理

　△ABCにおいて，次の余弦定理と呼ばれる関係が成り立つ：

証明の方針

$\boldsymbol{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}$ を示す場合
　1．Cから直線ABに垂線CHを下ろす．
　　　　↓
　2．△CBHで三平方の定理を利用．

証明

　$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ を示す．

1°　$A$ が鋭角のとき

　Cから辺ABまたはその延長上に垂線CHを引く．$B$ が鋭角，または鈍角のときは，△CBHにおいて三平方の定理により， \[{\rm CB}^2={\rm BH}^2+{\rm CH}^2\] \[\therefore a^2=|c-b\cos A|^2+(b\sin A)^2\] が成り立つ．$B$ が直角の場合は△CBHがつぶれてしまうが， $a=b\sin A$，$c=b\cos A$ であるから上の式はこの場合も含まれる．この式の右辺は \[\begin{align*} &(c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A)+b^2\sin^2A\\[5pt] =&b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A\\[5pt] =&b^2+c^2-2bc\cos A \end{align*}\] となるから， \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\] が成り立つ．

2°　$A$ が直角のとき

　$\cos A=\cos90^\circ=0$ であるから， \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos90^\circ\] すなわち \[a^2=b^2+c^2\] を示せばよいが，三平方の定理によりこれは成り立つ．

3°　$A$ が鈍角のとき

　Cから辺ABの延長上に垂線CHを引く． \[\begin{align*} {\rm AH}&={\rm CA}\cos(180^\circ-A)\\[5pt] &=-{\rm CA}\cos A=-b\cos A\\[5pt] {\rm CH}&={\rm CA}\sin(180^\circ-A)\\[5pt] &=b\sin A \end{align*}\] 　従って，△CBHにおいて三平方の定理により， \[{\rm CB}^2={\rm BH}^2+{\rm CH}^2\] \[\begin{align*} \therefore a^2&=\{c+(-b\cos A)\}^2+(b\sin A)^2\\[5pt] &=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2 \end{align*}\] 　この式は　$A$ が鋭角のときと同じ式であるから， \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\] が成り立つ．

　以上により，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が示された．他の2式も同様に示される．

■

補足

　上の証明では $A$ の大きさで3通りに場合分けして三平方の定理を利用したが，以下のように2点間の距離の公式(数学Ⅱ)で導けば，場合分けは必要ない．

　座標平面を用意し，△ABCを頂点Aが原点にくるようにして辺ABを $x$ 軸の正の部分に置き，頂点Cが $x$ 軸より上側の位置になるように配置する．

　このとき，Bの座標は $(c,0)$ であり，また頂点Cの座標を $(x,y)$ とすると，原点を中心とする半径 $b$ の半円を考えて

\[\cos A=\frac xb,\ \ \sin A=\frac yb\]

\[\therefore x=b\cos A,\ \ y=b\sin A\]

となるから，頂点Cの座標は

\[(b\cos A,\ b\sin A)\]

である．よって，2点間の距離の公式により，

\[\begin{align*} {\rm BC}^2&=(c-b\cos A)^2+(0-b\sin A)^2\\[5pt] &=(c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A)+b^2\sin^2A\\[5pt] &=b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A\\[5pt] &=b^2+c^2-2bc\cos A \end{align*}\]

■

例題　$b=2,\ c=3,\ A=60^\circ$ のとき，$a$ を求めよ．

答

　解答例を表示する >

　余弦定理により， \[a^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos60^\circ=7\] 　$a > 0$ であるから，$a=\boldsymbol{\sqrt7}$

5.2　余弦定理その2

　余弦定理の3つの式を cos について解くと，次の式が得られる：

余弦定理その2 \[\begin{align*} \cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[5pt] \cos B&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\[5pt] \cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align*}\]

例題　△ABCにおいて，$a=1+\sqrt3$，$b=2$，$c=\sqrt6$ のとき，$B,\ C$ の大きさを求めよ．

答

　解答例を表示する >

　余弦定理により \[\begin{align*} \cos B&=\frac{(\sqrt6)^2+(1+\sqrt3)^2-2^2}{2\sqrt6(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac{\sqrt3(1+\sqrt3)}{\sqrt6(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac1{\sqrt2} \end{align*}\] 　$0^\circ< B < 180^\circ$ より，$\underline{\boldsymbol{B=45^\circ}}$

　同様にして，余弦定理により \[\begin{align*} \cos C&=\frac{(1+\sqrt3)^2+2^2-(\sqrt6)^2}{2(1+\sqrt3)\cdot2}\\[5pt] &=\frac{1+\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac12 \end{align*}\] 　$0^\circ< C < 135^\circ$ より，$\underline{\boldsymbol{C=60^\circ}}$

補足

　$B=45^\circ$ が求まったあとでは，$C$ を正弦定理で求めることもできるが，$\sin$ では次のように吟味が必要になる場合がある：

　正弦定理により \[\frac2{\sin 45^\circ}=\frac{\sqrt6}{\sin C}\] \[\therefore \sin C=\frac{\sqrt6\sin45^\circ}2=\frac{\sqrt3}2\] 　$0^\circ< C< 135^\circ$ より，$C=60^\circ,\ 120^\circ$．(ここで吟味が必要．)

　次の事実を使う：

三角形の辺と角の大小 　三角形において，辺の長さの大小と，対応する角の大小は一致する．

(この定理の略証はスライド(会員向け)を参照．)

　本問の場合，$a>c>b$ により $A>C>B$ となり，$C$ は最大の角ではないから鋭角．($C$ が $90^\circ$ 以上なら $A$ も $90^\circ$ 以上となり，そうすると三角形に $90^\circ$ 以上の角が2つもあることになってしまう！)
　従って $\underline{\boldsymbol{C=60^\circ}}$

5.3　角の大小

　つまり，$a^2\neq b^2+c^2$ のとき，$\angle{\rm A}\neq90^\circ$ である．
　それでは $a^2\neq b^2+c^2$ のとき，$\angle{\rm A} < 90^\circ$？，$\angle{\rm A} > 90^\circ$？

　余弦定理 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ において，(分母)$ > 0$ であるから，

する．よって $0^\circ< A< 180^\circ$ のとき，

1° \[\begin{align*} A<90^\circ&\iff \cos A>0\\[5pt] &\iff b^2+c^2-a^2 > 0\\[5pt] &\iff a^2<b^2+c^2 \end{align*}\]

2° \[\begin{align*} A>90^\circ&\iff \cos A<0\\[5pt] &\iff b^2+c^2-a^2 < 0\\[5pt] &\iff a^2>b^2+c^2 \end{align*}\]

まとめ \[\begin{align*} a^2<b^2+c^2&\iff A < 90^\circ\\[5pt] a^2>b^2+c^2&\iff A > 90^\circ \end{align*}\]

例題　△ABCにおいて，$\sin A:\sin B:\sin C=5:7:3$ のとき，△ABCは鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のどれか．

答

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　正弦定理により， \[\begin{align*} a:b:c&=\sin A:\sin B:\sin C\\[5pt] &=5:7:3 \end{align*}\] 　よって，$a=5k,\ b=7k,\ c=3k$ ($k$ は正の定数) とおけるから，最大の角は $B$ である． \[(7k)^2>(3k)^2+(5k)^2\] であるから，$B$ は鈍角．従って△ABCは鈍角三角形．

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