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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第2章 三角比

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1. 正接,正弦,余弦 [無料]  
2. 三角比の相互関係 [無料]  
3. 三角比の拡張 [会員]  
4. 正弦定理 [会員]  
5. 余弦定理 [会員]  
6. 三角形の面積 [会員]  

5.余弦定理

5.1 余弦定理

 △ABCにおいて,次の余弦定理と呼ばれる関係が成り立つ:

余弦定理
\[\begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\[5pt] b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B\\[5pt] c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C \end{align*}\]

証明の方針

$\boldsymbol{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}$ を示す場合
 1.Cから直線ABに垂線CHを下ろす.
    ↓
 2.△CBHで三平方の定理を利用.

証明

 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ を示す.

1° $A$ が鋭角のとき

$B$ が鋭角のとき
$B$ が鈍角のとき

 Cから辺ABまたはその延長上に垂線CHを引く.$B$ が鋭角,または鈍角のときは,△CBHにおいて三平方の定理により, \[{\rm CB}^2={\rm BH}^2+{\rm CH}^2\] \[\therefore a^2=|c-b\cos A|^2+(b\sin A)^2\] が成り立つ.$B$ が直角の場合は△CBHがつぶれてしまうが, $a=b\sin A$,$c=b\cos A$ であるから上の式はこの場合も含まれる.この式の右辺は \[\begin{align*} &(c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A)+b^2\sin^2A\\[5pt] =&b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A\\[5pt] =&b^2+c^2-2bc\cos A \end{align*}\] となるから, \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\] が成り立つ.

2° $A$ が直角のとき

 $\cos A=\cos90^\circ=0$ であるから, \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos90^\circ\] すなわち \[a^2=b^2+c^2\] を示せばよいが,三平方の定理によりこれは成り立つ.

3° $A$ が鈍角のとき

 Cから辺ABの延長上に垂線CHを引く. \[\begin{align*} {\rm AH}&={\rm CA}\cos(180^\circ-A)\\[5pt] &=-{\rm CA}\cos A=-b\cos A\\[5pt] {\rm CH}&={\rm CA}\sin(180^\circ-A)\\[5pt] &=b\sin A \end{align*}\]  従って,△CBHにおいて三平方の定理により, \[{\rm CB}^2={\rm BH}^2+{\rm CH}^2\] \[\begin{align*} \therefore a^2&=\{c+(-b\cos A)\}^2+(b\sin A)^2\\[5pt] &=(c-b\cos A)^2+(b\sin A)^2 \end{align*}\]  この式は $A$ が鋭角のときと同じ式であるから, \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\] が成り立つ.

 以上により,$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ が示された.他の2式も同様に示される.

補足

 上の証明では $A$ の大きさで3通りに場合分けして三平方の定理を利用したが,以下のように2点間の距離の公式(数学Ⅱ)で導けば,場合分けは必要ない.

 座標平面を用意し,△ABCを頂点Aが原点にくるようにして辺ABを $x$ 軸の正の部分に置き,頂点Cが $x$ 軸より上側の位置になるように配置する.

 このとき,Bの座標は $(c,0)$ であり,また頂点Cの座標を $(x,y)$ とすると,原点を中心とする半径 $b$ の半円を考えて

\[\sin A=\frac yb,\ \ \cos A=\frac xb\]

\[\therefore y=b\sin A,\ \ x=b\cos A\]

となるから,頂点Cの座標は

\[(b\cos A,\ b\sin A)\]

である.よって,2点間の距離の公式により,

\[\begin{align*} {\rm BC}^2&=(c-b\cos A)^2+(0-b\sin A)^2\\[5pt] &=(c^2-2bc\cos A+b^2\cos^2A)+b^2\sin^2A\\[5pt] &=b^2(\sin^2A+\cos^2A)+c^2-2bc\cos A\\[5pt] &=b^2+c^2-2bc\cos A \end{align*}\]

例題 $b=2,\ c=3,\ A=60^\circ$ のとき,$a$ を求めよ.

 余弦定理により, \[a^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos60^\circ=7\]  $a > 0$ であるから,$a=\boldsymbol{\sqrt7}$

5.2 余弦定理その2

 余弦定理の3つの式を cos について解くと,次の式が得られる:

余弦定理その2 \[\begin{align*} \cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[5pt] \cos B&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\[5pt] \cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align*}\]

例題 △ABCにおいて,$a=1+\sqrt3$,$b=2$,$c=\sqrt6$ のとき,$B,\ C$ の大きさを求めよ.

 余弦定理により \[\begin{align*} \cos B&=\frac{(\sqrt6)^2+(1+\sqrt3)^2-2^2}{2\sqrt6(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac{\sqrt3(1+\sqrt3)}{\sqrt6(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac1{\sqrt2} \end{align*}\]  $0^\circ< B < 180^\circ$ より,$\underline{\boldsymbol{B=45^\circ}}$

 同様にして,余弦定理により \[\begin{align*} \cos C&=\frac{(1+\sqrt3)^2+2^2-(\sqrt6)^2}{2(1+\sqrt3)\cdot2}\\[5pt] &=\frac{1+\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}\\[5pt] &=\frac12 \end{align*}\]  $0^\circ< C < 135^\circ$ より,$\underline{\boldsymbol{C=60^\circ}}$

補足

 $B=45^\circ$ が求まったあとでは,$C$ を正弦定理で求めることもできるが,$\sin$ では次のように吟味が必要になる場合がある:

 正弦定理により \[\frac2{\sin 45^\circ}=\frac{\sqrt6}{\sin C}\] \[\therefore \sin C=\frac{\sqrt6\sin45^\circ}2=\frac{\sqrt3}2\]  $0^\circ< C< 135^\circ$ より,$C=60^\circ,\ 120^\circ$.(ここで吟味が必要.)

 次の事実を使う:

三角形の辺と角の大小  三角形において,辺の長さの大小と,対応する角の大小は一致する.

(この定理の略証はスライド(会員向け)を参照.)

 本問の場合,$a>c>b$ により $A>C>B$ となり,$C$ は最大の角ではないから鋭角.($C$ が $90^\circ$ 以上なら $A$ も $90^\circ$ 以上となり,そうすると三角形に $90^\circ$ 以上の角が2つもあることになってしまう!)
 従って $\underline{\boldsymbol{C=60^\circ}}$

5.3 角の大小

中学校の復習
 $a^2=b^2+c^2$
 $\iff$ △ABCは辺BCを斜辺($\angle{\rm A}=90^\circ$)とする直角三角形

 つまり,$a^2\neq b^2+c^2$ のとき,$\angle{\rm A}\neq90^\circ$ である.
 それでは $a^2\neq b^2+c^2$ のとき,$\angle{\rm A} < 90^\circ$?,$\angle{\rm A} > 90^\circ$?

 余弦定理 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ において,(分母)$ > 0$ であるから,

$\cos A$ と $b^2+c^2-a^2$ の符号は一致

する.よって $0^\circ< A< 180^\circ$ のとき,

1° \[\begin{align*} A<90^\circ&\iff \cos A>0\\[5pt] &\iff b^2+c^2-a^2 > 0\\[5pt] &\iff a^2<b^2+c^2 \end{align*}\]

2° \[\begin{align*} A>90^\circ&\iff \cos A<0\\[5pt] &\iff b^2+c^2-a^2 < 0\\[5pt] &\iff a^2>b^2+c^2 \end{align*}\]

まとめ \[\begin{align*} a^2<b^2+c^2&\iff A < 90^\circ\\[5pt] a^2>b^2+c^2&\iff A > 90^\circ \end{align*}\]

例題 △ABCにおいて,$\sin A:\sin B:\sin C=5:7:3$ のとき,△ABCは鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形のどれか.

 正弦定理により, \[\begin{align*} a:b:c&=\sin A:\sin B:\sin C\\[5pt] &=5:7:3 \end{align*}\]  よって,$a=5k,\ b=7k,\ c=3k$ ($k$ は正の定数) とおけるから,最大の角は $B$ である. \[(7k)^2>(3k)^2+(5k)^2\] であるから,$B$ は鈍角.従って△ABCは鈍角三角形

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