高校数学ノート[総目次]
数学Ⅰ 第2章 三角比
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2．三角比の相互関係
2.1 三角比の相互関係
三平方の定理により $x^2+y^2=r^2$．
$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ であるから，これらを代入して，
\[ r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=r^2\]
両辺を $r^2$ で割って，
次に，
\[ \tan\theta=\frac yx=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
また，①の両辺を$\cos^2\theta$ で割ると，
\[ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac 1{\cos^2\theta}\]
\[ \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2+1=\frac 1{\cos^2\theta}\]
三角比の相互関係
\[\begin{align*}
&[1]\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[5pt]
&[2]\ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\[5pt]
&[3]\ 1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}
\end{align*}\]
例題1 $\theta$ は鋭角とする．$\cos\theta=\dfrac34$ のとき，$\sin\theta,\ \tan\theta$ の値を求めよ．
答
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より， \[ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(\frac34\right)^2=\frac 7{16}\] $\sin\theta>0$ であるから， \[ \sin\theta=\boldsymbol{\frac{\sqrt 7}4}\] また， \[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{\sqrt7}4}{\frac34}=\boldsymbol{\frac{\sqrt7}3}\]
補足
三平方の定理を用いて高さを計算し，図で考えるのもよい．
例題2 $\theta$ は鋭角とする．$\tan\theta=\dfrac34$ のとき，$\sin\theta,\ \cos\theta$ の値を求めよ．
答
$1+\tan^2\theta=\dfrac1{\cos^2\theta}$ より， \[ \frac1{\cos^2\theta}=1+\left(\frac34\right)^2=\frac{25}{16}\] \[\therefore \cos^2\theta=\frac{16}{25}\] $\cos\theta >0$ であるから， \[\cos\theta=\boldsymbol{\frac45}\] また，$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より， \[\begin{align*} \sin\theta&=\tan\theta\cdot\cos\theta\\[5pt] &=\frac 34\cdot\frac45=\boldsymbol{\frac35} \end{align*}\]
2.2 $90^\circ-\theta$ の三角比
$\theta$ が鋭角のとき，図より次が成り立つ：
\[\begin{array}{ll} \sin\theta=\dfrac yr,&\sin(90^\circ-\theta)=\dfrac xr\\[5pt] \cos\theta=\dfrac xr,&\cos(90^\circ-\theta)=\dfrac yr\\[5pt] \tan\theta=\dfrac yx,&\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac xy \end{array}\]
よって，次のような関係が成り立つことがわかる：
90°-θ の三角比 \[\begin{align*} &\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\\[5pt] &\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\\[5pt] &\tan(90^\circ-\theta)=\frac1{\tan\theta} \end{align*}\]
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