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1.三角比の相互関係

 三平方の定理により $x^2+y^2=r^2$.
 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ であるから,これらを代入して,

\[ r^2\cos\theta+r^2\sin\theta=r^2\]

 両辺を $r^2$ で割って,

\[\therefore\ \ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ \ \cdots\mbox{①}\]

 次に,

\[ \tan\theta=\frac yx=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]

\[\therefore\ \ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\ \ \cdots\mbox{②}\]

 また,①の両辺を$\cos^2\theta$ で割ると,

\[ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac 1{\cos^2\theta}\]

\[ \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2+1=\frac 1{\cos^2\theta}\]

\[\therefore\ \ 1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}\ \ \ \ (\because\mbox{②})\]

三角比の相互関係
\[\begin{align*} &[1]\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[5pt] &[2]\ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\[5pt] &[3]\ 1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} \end{align*}\]

例1

 $\theta$ は鋭角とする.$\cos\theta=\dfrac34$ のとき,$\sin\theta,\ \tan\theta$ の値を求めよ.

 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より, \[ \sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(\frac34\right)^2=\frac 7{16}\]  $\sin\theta>0$ であるから, \[ \sin\theta=\boldsymbol{\frac{\sqrt 7}4}\]  また, \[ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{\sqrt7}4}{\frac34}=\boldsymbol{\frac{\sqrt7}3}\]

補足

 三平方の定理を用いて高さを計算し,図で考えるのもよい.

例2

 $\theta$ は鋭角とする.$\tan\theta=\dfrac34$ のとき,$\sin\theta,\ \cos\theta$ の値を求めよ.

 $1+\tan^2\theta=\dfrac1{\cos^2\theta}$ より, \[ \frac1{\cos^2\theta}=1+\left(\frac34\right)^2=\frac{25}{16}\] \[\therefore \cos^2\theta=\frac{16}{25}\]  $\cos\theta >0$ であるから, \[\cos\theta=\boldsymbol{\frac45}\]  また,$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より, \[\begin{align*} \sin\theta&=\tan\theta\cdot\cos\theta\\[5pt] &=\frac 34\cdot\frac45=\boldsymbol{\frac35} \end{align*}\]

2.90°-θ の三角比

 $\theta$ が鋭角のとき,図より次が成り立つ:

\[\begin{array}{ll} \sin\theta=\dfrac yr,&\sin(90^\circ-\theta)=\dfrac xr\\[5pt] \cos\theta=\dfrac xr,&\cos(90^\circ-\theta)=\dfrac yr\\[5pt] \tan\theta=\dfrac yx,&\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac xy \end{array}\]

 よって,次のような関係が成り立つことがわかる:

90°-θ の三角比 \[\begin{align*} &\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\\[5pt] &\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\\[5pt] &\tan(90^\circ-\theta)=\frac1{\tan\theta} \end{align*}\]