6．三角形の面積(ノート)
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数学Ⅰ　第2章　三角比

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1. 正接，正弦，余弦	[無料]
2. 三角比の相互関係	[無料]
3. 三角比の拡張	[会員]
4. 正弦定理	[会員]
5. 余弦定理	[会員]
6. 三角形の面積	[会員]

6．三角形の面積

6.1　三角形の面積

　△ABCにおいて，Cから直線ABに垂線CHを引くと， \[{\rm CH}=b\sin A\] 　故に， \[\triangle{\rm ABC}=\frac12\cdot{\rm AB}\cdot{\rm CH}=\frac12bc\sin A\]

こたえ

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\[\cos B=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\dfrac12\]
　$0^\circ < B < 180^\circ$ により，$\sin B > 0$ であるから，
\[\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\frac{\sqrt3}2\]
　故に，
\[\begin{align*}
S&=\frac12 ca\sin B\\[5pt]
&=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\boldsymbol{\frac{15\sqrt3}4}
\end{align*}\]

6.2　ヘロンの公式

証明

　余弦定理により，$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$．
　よって，
\[\begin{align*}
\sin^2A&=1-\cos^2A\\[5pt]
&=(1+\cos A)(1-\cos A)\\[5pt]
&=\left(1+\frac{b^2\!+\!c^2\!-\!a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2\!+\!c^2\!-\!a^2}{2bc}\right)\\[5pt]
&=\frac{2bc\!+\!(b^2\!+\!c^2\!-\!a^2)}{2bc}\cdot\frac{2bc\!-\!(b^2\!+\!c^2\!-\!a^2)}{2bc}\\[5pt]
&=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\\[5pt]
&=\frac{(b\!+\!c\!+\!a)(b\!+\!c\!-\!a)(a\!+\!b\!-\!c)(a\!-\!b\!+\!c)}{4b^2c^2}
\end{align*}\]

　ここで，$a+b+c=2s$ とおくと，
\[\begin{align*}
(\mbox{分子})&=(a\!+\!b\!+\!c)(-a\!+\!b\!+\!c)(a\!-\!b\!+\!c)(a\!+\!b\!-\!c)\\[5pt]
&=2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c)\\[5pt]
&=16s(s-a)(s-b)(s-c)
\end{align*}\]

となるから，
\[\begin{align*}
\sin^2 A&=\frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}\\[5pt]
&=\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^2c^2}
\end{align*}\]

　$0^\circ < A < 180^\circ$ により，$\sin A > 0$ であるから，
\[\sin A=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}\]

　故に，
\[\begin{align*}
S&=\frac12bc\sin A\\[5pt]
&=\frac12bc\cdot\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}\\[5pt]
&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}\]

■

6.3　三角比の応用

こたえ

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　$\cos C=\cos(180^\circ-A)=-\cos A$ に注意して，△ABD と △BCD に余弦定理を用いると，
\[\begin{align*}
{\rm BD}^2&=1^2\!+\!4^2\!-\!2\!\cdot\!1\!\cdot\!4\cos A\!=\!17\!-\!8\cos A\\[5pt]
{\rm BD}^2&=2^2\!+\!3^2\!-\!2\!\cdot\!3\!\cdot\!3\cos C\!=\!13\!+\!12\cos A
\end{align*}\]
　この2式より，
\[\begin{align*}
17-8\cos A&=13+12\cos A\\[5pt]
\therefore\cos A&=\frac15
\end{align*}\]
　$0^\circ < A < 180^\circ$ のとき，$\sin A > 0$ であるから，
\[\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\cdots=\frac{2\sqrt6}5\]
　よって，
\[\begin{align*}
S&=\triangle{\rm ABD}+\triangle{\rm BCD}\\[5pt]
&=\frac12\cdot1\cdot4\cdot\frac{2\sqrt6}5+\frac12\cdot2\cdot3\cdot\frac{2\sqrt6}5\\[5pt]
&=\boldsymbol{2\sqrt6}
\end{align*}\]

こたえ

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　$\triangle{\rm ABC}=\triangle{\rm ABD}+\triangle{\rm ACD}$ より
\[\begin{align*}
\frac12\!\cdot\!8\!\cdot\!6\sin60^\circ&=\!\frac12\!\cdot\!8\!\cdot\!{\rm AD}\sin30^\circ\!+\!\frac12\!\cdot\!6\!\cdot\!{\rm AD}\sin30^\circ\\[5pt]
12\sqrt3&=2{\rm AD}+\frac32{\rm AD}\\[5pt]
\therefore {\rm AD}&=\boldsymbol{\frac{24\sqrt3}7}
\end{align*}\]

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演習問題

解答

　△ABCと△ACDは合同な三角形であるから

\[\begin{align*}
\mbox{求める面積}&=2\triangle{\rm ABC}\\[5pt]
&=2\left(\frac12{\rm AB\cdot BC} \sin60^\circ\right)\\[5pt]
&=2\left(\frac12\cdot \sqrt2\cdot\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}2\right)\\[5pt]
&=3
\end{align*}\]