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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第2章 三角比

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1.正接,正弦,余弦 無料  【ノート
2.三角比の相互関係 無料  【ノート
3.三角比の拡張        【ノート
4.正弦定理          【ノート
5.余弦定理          【ノート
6.三角形の面積        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

6.三角形の面積

6.1 三角形の面積

 △ABCにおいて,Cから直線ABに垂線CHを引くと, \[{\rm CH}=b\sin A\]  故に, \[\triangle{\rm ABC}=\frac12\cdot{\rm AB}\cdot{\rm CH}=\frac12bc\sin A\]

三角形の面積  △ABCの面積 $S$ は, \[S=\frac12 bc\sin A=\frac12 ca\sin B=\frac12 ab\sin C\]

例題 △ABCにおいて,$a=5,\ b=7,\ c=3$ のとき,△ABCの面積 $S$ を求めよ.

\[\cos B=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\dfrac12\]  $0^\circ < B < 180^\circ$ により,$\sin B > 0$ であるから, \[\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\frac{\sqrt3}2\]  故に, \[\begin{align*} S&=\frac12 ca\sin B\\[5pt] &=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\boldsymbol{\frac{15\sqrt3}4} \end{align*}\]

6.2 ヘロンの公式

ヘロンの公式  $s$ (小文字) を $s=\dfrac{a+b+c}2$ とすると,△ABC の面積 $S$ (大文字)は, \[S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

証明

 余弦定理により,$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
 よって, \[\begin{align*} \sin^2A&=1-\cos^2A\\[5pt] &=(1+\cos A)(1-\cos A)\\[5pt] &=\left(1+\frac{b^2\!+\!c^2\!-\!a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2\!+\!c^2\!-\!a^2}{2bc}\right)\\[5pt] &=\frac{2bc\!+\!(b^2\!+\!c^2\!-\!a^2)}{2bc}\cdot\frac{2bc\!-\!(b^2\!+\!c^2\!-\!a^2)}{2bc}\\[5pt] &=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\\[5pt] &=\frac{(b\!+\!c\!+\!a)(b\!+\!c\!-\!a)(a\!+\!b\!-\!c)(a\!-\!b\!+\!c)}{4b^2c^2} \end{align*}\]

 ここで,$a+b+c=2s$ とおくと, \[\begin{align*} (\mbox{分子})&=(a\!+\!b\!+\!c)(-a\!+\!b\!+\!c)(a\!-\!b\!+\!c)(a\!+\!b\!-\!c)\\[5pt] &=2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c)\\[5pt] &=16s(s-a)(s-b)(s-c) \end{align*}\]

となるから,
\[\begin{align*} \sin^2 A&=\frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}\\[5pt] &=\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^2c^2} \end{align*}\]

 $0^\circ < A < 180^\circ$ により,$\sin A > 0$ であるから, \[\sin A=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}\]

 故に, \[\begin{align*} S&=\frac12bc\sin A\\[5pt] &=\frac12bc\cdot\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}\\[5pt] &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align*}\]

6.3 三角比の応用

例題1 [円に内接する四角形の面積を求める]
 AB=1,BC=2,CD=3,DA=4 である円に内接する四角形ABCDの面積 $S$ を求めよ.

 $\cos C=\cos(180^\circ-A)=-\cos A$ に注意して,△ABD と △BCD に余弦定理を用いると, \[\begin{align*} {\rm BD}^2&=1^2\!+\!4^2\!-\!2\!\cdot\!1\!\cdot\!4\cos A\!=\!17\!-\!8\cos A\\[5pt] {\rm BD}^2&=2^2\!+\!3^2\!-\!2\!\cdot\!3\!\cdot\!3\cos C\!=\!13\!+\!12\cos A \end{align*}\]  この2式より, \[\begin{align*} 17-8\cos A&=13+12\cos A\\[5pt] \therefore\cos A&=\frac15 \end{align*}\]  $0^\circ < A < 180^\circ$ のとき,$\sin A > 0$ であるから, \[\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\cdots=\frac{2\sqrt6}5\]  よって, \[\begin{align*} S&=\triangle{\rm ABD}+\triangle{\rm BCD}\\[5pt] &=\frac12\cdot1\cdot4\cdot\frac{2\sqrt6}5+\frac12\cdot2\cdot3\cdot\frac{2\sqrt6}5\\[5pt] &=\boldsymbol{2\sqrt6} \end{align*}\]

例題2 [角の二等分線の長さを求める]
 AB=8, AC=6,$A=60^\circ$ の△ABC において,$\angle{\rm A}$ の二等分線と辺BCとの交点をDとする.線分ADの長さを求めよ.

 $\triangle{\rm ABC}=\triangle{\rm ABD}+\triangle{\rm ACD}$ より \[\begin{align*} \frac12\!\cdot\!8\!\cdot\!6\sin60^\circ&=\!\frac12\!\cdot\!8\!\cdot\!{\rm AD}\sin30^\circ\!+\!\frac12\!\cdot\!6\!\cdot\!{\rm AD}\sin30^\circ\\[5pt] 12\sqrt3&=2{\rm AD}+\frac32{\rm AD}\\[5pt] \therefore {\rm AD}&=\boldsymbol{\frac{24\sqrt3}7} \end{align*}\]


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