4．正弦定理(ノート)
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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ　第2章　三角比

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4．正弦定理

　このノートでは，△ABCにおいて，頂点A，B，Cの対辺BC，CA，ABの長さをそれぞれ $a,\ b,\ c$ で表し，$\angle{\rm A}$，$\angle{\rm B}$，$\angle{\rm C}$ の大きさをそれぞれ $A,\ B,\ C$ で表すものとする．

4.1　辺の長さと正弦

証明の方針

　直径をとる．
　　↓
　円周角の定理を用いて角を移動．
　　↓
　直角三角形で考える．

証明

1°　A < 90° のとき

　直径CDをとると，円周角の定理により

\[\angle{\rm A}=\angle{\rm D},\ \angle{\rm DBC}=90^\circ\]

　従って，

\[\begin{gather*} {\rm BC}={\rm DC}\sin D\\[5pt] \therefore a=2R\sin A \end{gather*}\]

2°　A = 90° のとき

　${\rm BC}=2R,\ \sin A=\sin 90^\circ=1$ であるから，

\[a=2R\sin A\]

3°　A > 90° のとき

　四角形ABDCは円に内接するから，$A+D=180^\circ$．よって $D=180^\circ-A$．
　$A>90^\circ$ より $D<90^\circ$ であるから，1°により $a=2R\sin D$．
　ここで，$\sin D=\sin(180^\circ-A)=\sin A$ であるから，$a=2R\sin A$．

　以上により，$a=2R\sin A$ が示された．
　他の2つの式も同様に示される．

■

補足

\[\begin{align*} a:b:c&=2R\sin A:2R\sin B:2R\sin C\\[5pt] &=\sin A:\sin B:\sin C \end{align*}\] であるから次が成り立つ：

\[a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\]

注意

　$a:b:c=\angle {\rm A}:\angle {\rm B}:\angle {\rm C}$ ではない．

4.2　正弦定理

　上の定理で示された3つの式から

\[\begin{align*} \frac a{\sin A}&=2R\\[5pt] \frac b{\sin B}&=2R\\[5pt] \frac c{\sin C}&=2R \end{align*}\]

と変形できるから，正弦定理と呼ばれる次の関係が成り立つ：

正弦定理 　△ABCの外接円の半径を $R$ とすると， \[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R\]

例題 　△ABCにおいて，$c=\sqrt6,\ A=75^\circ,\ C=60^\circ$ のとき，$b$ 及び外接円の半径 $R$ を求めよ．

答

　$B=180^\circ-(75^\circ+60^\circ)=45^\circ$．よって正弦定理により， \[\frac b{\sin45^\circ}=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\] \[\begin{align*} \therefore b&=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\times\sin45^\circ\\[5pt] &=\frac{\sqrt6}{\frac{\sqrt3}2}\times\frac1{\sqrt2}\\[5pt] &=\boldsymbol{2} \end{align*}\] 　また，再び正弦定理により， \[2R=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ} \] \[\therefore R=\frac{\sqrt6}{2\sin60^\circ}=\frac{\sqrt6}{2\cdot\frac{\sqrt3}2}=\boldsymbol{\sqrt2}\]

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