4．正弦定理(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第2章　三角比

	スライド	ノート
1. 正接，正弦，余弦	[無料]
2. 三角比の相互関係	[無料]
3. 三角比の拡張	[会員]
4. 正弦定理	[会員]
5. 余弦定理	[会員]
6. 三角形の面積	[会員]

4．正弦定理

4.1　辺の長さと正弦

証明の流れ
　①　直径をとる．
　　　　↓
　②　円周角の定理を用いて角を移動．
　　　　↓
　③　直角三角形で考える．

証明

1°　A < 90° のとき

　直径CDをとると，円周角の定理 により

\[\angle{\rm A}=\angle{\rm D},\ \angle{\rm DBC}=90^\circ\]

　従って，

\[\begin{gather*}
{\rm BC}={\rm DC}\sin D\\[5pt]
\therefore a=2R\sin A
\end{gather*}\]

2°　A = 90° のとき

　${\rm BC}=2R,\ \sin A=\sin 90^\circ=1$ であるから，

\[a=2R\sin A\]

3°　A > 90° のとき

　四角形ABDCは円に内接する から，$A+D=180^\circ$．よって $D=180^\circ-A$．
　$A>90^\circ$ より $D<90^\circ$ であるから，1°により $a=2R\sin D$．
　ここで，$\sin D=\sin(180^\circ-A)=\sin A$ であるから，$a=2R\sin A$．

　以上により，$a=2R\sin A$ が示された．
　他の2つの式も同様に示される．

■

補足

\[\begin{align*} a:b:c&=2R\sin A:2R\sin B:2R\sin C\\[5pt] &=\sin A:\sin B:\sin C \end{align*}\]

　従って，三角形の辺の比は，対応する角の正弦の比に等しい．

重要な比例式
\[a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\]

注意

　$a:b:c=\angle {\rm A}:\angle {\rm B}:\angle {\rm C}$ ではない．

4.2　正弦定理

　上の定理で示された3つの式 から

\[\begin{align*}
\frac a{\sin A}&=2R\\[5pt]
\frac b{\sin B}&=2R\\[5pt]
\frac c{\sin C}&=2R
\end{align*}\]

と変形できるから，正弦定理と呼ばれる次の関係が成り立つ：

正弦定理
　△ABCの外接円の半径を $R$ とすると，
\[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R\]

こたえ

　解答例を表示する >

　$B=180^\circ-(75^\circ+60^\circ)=45^\circ$．よって正弦定理により，
\[\frac b{\sin45^\circ}=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\]
\[\begin{align*}
\therefore b&=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\times\sin45^\circ\\[5pt]
&=\frac{\sqrt6}{\frac{\sqrt3}2}\times\frac1{\sqrt2}\\[5pt]
&=\boldsymbol{2}
\end{align*}\]
　また，再び正弦定理により，
\[2R=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ} \] \[\therefore R=\frac{\sqrt6}{2\sin60^\circ}=\frac{\sqrt6}{2\cdot\frac{\sqrt3}2}=\boldsymbol{\sqrt2}\]

次は　5．余弦定理
前は　3．三角比の拡張

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演習問題

解答

(1)　　ヒント
　△ABCにおいて，$a=5\sqrt 2,b=5, A=135^\circ$ のとき，$C$ を求めよ．

　正弦定理により

\[\frac{5\sqrt2}{\sin135^\circ}=\frac5{\sin B}\]

　よって