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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第2章 三角比

スライド↓      ノート↓
1.正接,正弦,余弦 無料  【ノート
2.三角比の相互関係 無料  【ノート
3.三角比の拡張        【ノート
4.正弦定理          【ノート
5.余弦定理          【ノート
6.三角形の面積        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4.正弦定理

 このノートでは,△ABCにおいて,頂点A,B,Cの対辺BC,CA,ABの長さをそれぞれ $a,\ b,\ c$ で表し,$\angle{\rm A}$,$\angle{\rm B}$,$\angle{\rm C}$ の大きさをそれぞれ $A,\ B,\ C$ で表すものとする.

4.1 辺の長さと正弦

定理  △ABCの外接円の半径を $R$ とすると, \[\begin{align*} a&=2R\sin A\\[5pt] b&=2R\sin B\\[5pt] c&=2R\sin C \end{align*}\]

証明の方針

 直径をとる.
  
 円周角の定理を用いて角を移動.
  
 直角三角形で考える.

証明

1° A < 90° のとき

 直径CDをとると,円周角の定理により

\[\angle{\rm A}=\angle{\rm D},\ \angle{\rm DBC}=90^\circ\]

 従って,

\[\begin{gather*} {\rm BC}={\rm DC}\sin D\\[5pt] \therefore a=2R\sin A \end{gather*}\]

2° A = 90° のとき

 ${\rm BC}=2R,\ \sin A=\sin 90^\circ=1$ であるから,

\[a=2R\sin A\]

3° A > 90° のとき

 四角形ABDCは円に内接するから,$A+D=180^\circ$.よって $D=180^\circ-A$.
 $A>90^\circ$ より $D<90^\circ$ であるから,1°により $a=2R\sin D$.
 ここで,$\sin D=\sin(180^\circ-A)=\sin A$ であるから,$a=2R\sin A$.

 以上により,$a=2R\sin A$ が示された.
 他の2つの式も同様に示される.

補足

\[\begin{align*} a:b:c&=2R\sin A:2R\sin B:2R\sin C\\[5pt] &=\sin A:\sin B:\sin C \end{align*}\] であるから次が成り立つ:

\[a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\]

注意

 $a:b:c=\angle {\rm A}:\angle {\rm B}:\angle {\rm C}$ ではない.

4.2 正弦定理

 上の定理で示された3つの式から

\[\begin{align*} \frac a{\sin A}&=2R\\[5pt] \frac b{\sin B}&=2R\\[5pt] \frac c{\sin C}&=2R \end{align*}\]

と変形できるから,正弦定理と呼ばれる次の関係が成り立つ:

正弦定理  △ABCの外接円の半径を $R$ とすると, \[\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R\]

例題  △ABCにおいて,$c=\sqrt6,\ A=75^\circ,\ C=60^\circ$ のとき,$b$ 及び外接円の半径 $R$ を求めよ.

 $B=180^\circ-(75^\circ+60^\circ)=45^\circ$.よって正弦定理により, \[\frac b{\sin45^\circ}=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\] \[\begin{align*} \therefore b&=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ}\times\sin45^\circ\\[5pt] &=\frac{\sqrt6}{\frac{\sqrt3}2}\times\frac1{\sqrt2}\\[5pt] &=\boldsymbol{2} \end{align*}\]  また,再び正弦定理により, \[2R=\frac{\sqrt6}{\sin60^\circ} \] \[\therefore R=\frac{\sqrt6}{2\sin60^\circ}=\frac{\sqrt6}{2\cdot\frac{\sqrt3}2}=\boldsymbol{\sqrt2}\]


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数学Ⅰ 第2章 三角比

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2.三角比の相互関係 無料  【ノート
3.三角比の拡張        【ノート
4.正弦定理          【ノート
5.余弦定理          【ノート
6.三角形の面積        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.