4．円と直線【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

	スライド	ノート	問題
1. 座標平面上の点
2. 直線の方程式
3. 円の方程式
4. 円と直線
5. 軌跡と方程式
6. 不等式と領域

演習問題

問題１【発展】
　 $y = x^{2} + a x + b$ で表される放物線を $C_{1}$ とし， $C_{1}$ を直線 $y = x$ について対称移動した放物線を $C_{2}$ とする．2つの放物線 $C_{1}, C_{2}$ が異なる4つの交点をもつとき，この4点を通る円が存在することを示せ．

問題1【発展】

　 $y = x^{2} + a x + b$ で表される放物線を $C_{1}$ とし， $C_{1}$ を直線 $y = x$ について対称移動した放物線を $C_{2}$ とする．2つの放物線 $C_{1}, C_{2}$ が異なる4つの交点をもつとき，この4点を通る円が存在することを示せ．

　放物線 $C_{1}$ を直線 $y = x$ に関して対称移動した放物線 $C_{2}$ の方程式は， $x$ と $y$ を入れ替えて $x = a y^{2} + b y + c$ です．

解答

　 $C_{1}$ の方程式を変形して $x^{2} + a x + b - y = 0$ ．よって $C_{2}$ の方程式は $y^{2} + a y + b - x = 0$ となる．いま $k$ を定数として

$x^{2} + b x + c - y + k (y^{2} + b y + c - x) = 0$

という式を作ると，この方程式によって表される図形は $k$ の値にかかわらず $C_{1}, C_{2}$ の4つの交点をすべて通る．そこで $k = 1$ とおくと

$x^{2} + a x + b - y + (y^{2} + a y + b - x) = 0$

　整理すると

$x^{2} + (a - 1) x + y^{2} + (a - 1) y + 2 b = 0$

　変形して

${(x + \frac{a - 1}{2})}^{2} + {(y + \frac{a - 1}{2})}^{2} = \frac{(a - 1)^{2} - 4 b}{2} \dots (*)$

　ここで， $C_{1}$ と $C_{2}$ は異なる4点で交わるから，放物線 $C_{1}$ は直線 $y = x$ と2点で交わる．（さもなくば， $C_{1}$ と $C_{2}$ は高々1つの共有点しかもち得ない．)　従って $x^{2} + a x + b = x$ ，すなわち $x^{2} + (a - 1) x + b = 0$ の判別式を $D$ とすると $D > 0$ であるから

$(a - 1)^{2} - 4 b > 0$

　故に $(*)$ の右辺は正の定数となるから， $(*)$ は円の方程式を表す．以上により題意の円の存在が示された．

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