円の方程式の基礎と一般形｜中心・半径の求め方をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

	スライド	ノート	問題
1. 座標平面上の点
2. 直線の方程式
3. 円の方程式
4. 円と直線
5. 軌跡と方程式
6. 不等式と領域

3．円の方程式

3.1　円の方程式

円とは？

　定点から等しい距離にある点の集合

　定点(円の中心)を $C (a, b)$ ，等しい距離(半径)を $r$ とし，円上の点を $P (x, y)$ とすると， $C P = r ⟺ {C P}^{2} = r^{2}$ であるから， $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ が成り立つ．

円の方程式　中心 $(a, b)$ ，半径 $r$ の円の方程式は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 　特に中心が原点のとき， $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

例　中心 $(2, - 1)$ ，半径5の円の方程式は， $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$

3.2　円の方程式の一般形

　円の方程式 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ を展開して整理すると， $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$ 　この式で， $- 2 a$ ， $- 2 b$ ， $a^{2} + b^{2} - r^{2}$ は定数であるから，一般に円の方程式は次の形にすることができる：

円の方程式の一般形 $x^{2} + y^{2} + l x + m y + n = 0$

この方程式の特徴

　・ $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数が等しい．
　・ $x y$ の項がない．

注意

　上の式は ${(x + \frac{l}{2})}^{2} + {(y + \frac{m}{2})}^{2} = \frac{l^{2} + m^{2} - 4 n}{4}$ と変形できるから，右辺の分子について，

$l^{2} + m^{2} - 4 n > 0$

でなければ円を表さない．

例題　 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 23 = 0$ はどんな円を表すか．

$\begin{aligned} (x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) & = 23 \\ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} & = 23 + 3^{2} + 2^{2} \\ ∴ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} & = 6^{2} \end{aligned}$ 　よって，点 $(3, - 2)$ を中心とする半径6の円

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