三角関数の種々の公式｜2倍角・半角・3倍角・積和・和積をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

6．三角関数の種々の公式

6.1　2倍角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数がわかると，その2倍の大きさである $2\alpha$ の三角関数が計算できる．それが次の2倍角の公式である．

証明

sin の加法定理

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと， $$\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$$ $$\therefore \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

cos の加法定理

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$ において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと，$$\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\cos \alpha \cos \alpha$$ $$\therefore \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \cdots \text{①}$$

　①を sin だけの式にすると， $$\begin{array}{rl}\cos 2\alpha & =(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha \\ & =1-2{\sin }^2\alpha \end{array}$$

　また，①を cos だけの式にすると， $$\begin{array}{rl}\cos 2\alpha & ={\cos }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )\\ & =2{\cos }^2\alpha -1\end{array}$$

tan の加法定理

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$ において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと， $$\begin{array}{rl}\tan (\alpha +\alpha )& =\frac{\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \alpha }\\ \therefore \tan 2\alpha & =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}$$

■

例題　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ のとき，$\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha ,\tan 2\alpha$ の値を2倍角の公式を用いて求めよ．

こたえ

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　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき，$\cos \alpha >0$ だから

$$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\\ & \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\end{array}$$

　よって

$$\begin{array}{rl}& \sin 2\alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\\ & \cos 2\alpha ={\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{7}{25}\\ & \tan 2\alpha =\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{24}{7}\end{array}$$

6.2　半角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数が与えられると，その半分の角である ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の三角関数も計算することができる．それが次の半角の公式である．

証明

　$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ より $${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$ 　$\alpha$ を ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ におきかえて， $$\begin{array}{rl}{\sin }^2\frac{\alpha }{2}& =\frac{1-\cos (2\cdot \frac{\alpha }{2})}{2}\\ & =\frac{1-\cos \alpha }{2}\end{array}$$ 　${\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ も $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ より同様に計算できる．

$$\begin{array}{rl}{\tan }^2\frac{\alpha }{2}& ={\left(\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}\right)}^2\\ & =\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}\\ & =\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }\end{array}$$

■

注意

　公式の左辺を見ればわかるように，半角公式では ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の三角関数が得られるのではなく，それらを2乗した値が得られる．${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ そのものの三角関数を得るには平方根をとればよいが，正負どちらになるのかを条件から判定する必要がある．

例題　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$ で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ のとき，$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}},\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の値を半角の公式を用いて求めよ．

こたえ

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　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$ のとき，$\cos \alpha <0$ だから

$$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$$

　よって

$$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{9}{10}\\ & {\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{1}{10}\\ & {\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{1+(-\frac{4}{5})}=9\end{array}$$

　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <\pi$ のとき，${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ だから，${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の三角関数はすべて正である．よって

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{\sqrt{10}},\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{\sqrt{10}},\tan \frac{\alpha }{2}=3$$

6.3　3倍角の公式

証明

$$\begin{array}{rl}\sin 3\alpha & =\sin (2\alpha +\alpha )\\ & =\sin 2\alpha \cos \alpha +\cos 2\alpha \sin \alpha \\ & =2\sin \alpha {\cos }^2\alpha +(1-2{\sin }^2\alpha )\sin \alpha \\ & =2\sin \alpha (1-{\sin }^2\alpha )+\sin \alpha -2{\sin }^3\alpha \\ & =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ \cos 3\alpha & =\cos (2\alpha +\alpha )\\ & =\cos 2\alpha \cos \alpha -\sin 2\alpha \sin \alpha \\ & =(2{\cos }^2\alpha -1)\cos \alpha -2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha \\ & =(2{\cos }^2\alpha -1)\cos \alpha -2(1-{\cos }^2\alpha )\cos \alpha \\ & =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha \end{array}$$

■

例題　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ のとき，次の各問いに答えよ．
(1)　$\sin 3\alpha =\sin 2\alpha$ が成り立つことを示せ．
(2)　(1) の等式を利用して$\cos \alpha$ の値を求めよ．

こたえ

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(1) $\sin 3\alpha =\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}=\sin (\pi -{\displaystyle \frac{2\pi }{5}})=\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\sin 2\alpha$

■

(2) 3倍角，2倍角の公式により

$$3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

　整理して

$$\sin \alpha (3-4{\sin }^2\alpha -2\cos \alpha )=0$$

　$\sin \alpha \ne 0$ であるから，$3-4{\sin }^2\alpha -2\cos \alpha =0$

$$3-4(1-{\cos }^2\alpha )-2\cos \alpha =0$$

$$4{\cos }^2\alpha -2\cos \alpha -1=0$$

$$\therefore \cos \alpha =\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$$

　$\cos \alpha >0$ であるから，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$．

6.4　積和公式

$$\begin{array}{rl}& [1]\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}\\ & [2]\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}\\ & [3]\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}\\ & [4]\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}\end{array}$$

証明

[1]，[2]

　sin の加法定理により，
　　$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \cdots$①
　　$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \cdots$②
　①$+$②より， $$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta$$ $$\therefore \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$$ 　①$-$②より， $$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$ $$\therefore \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$$

[3]，[4]

　cos の加法定理により，上と同様にして導くことができる．

■

6.5　和積公式

$$\begin{array}{rl}& [1]\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\ & [2]\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\\ & [3]\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\ & [4]\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\end{array}$$

証明

　積和公式において， $$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =A\\ \alpha -\beta =B\end{array}$$ とおくと， $$\{\begin{array}{l}\alpha ={\displaystyle \frac{A+B}{2}}\\ \beta ={\displaystyle \frac{A-B}{2}}\end{array}$$ であるから，例えば， $$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$$ に代入して， $$\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}(\sin A+\sin B)$$ $$\therefore \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$ 　他の3つも同様に導くことができる．

■

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2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
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7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用