3．三角関数の性質【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

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5. 三角関数の加法定理	[会員]		[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

演習問題

解答

解法1　[$\cos\theta$ で表す]

　与式を変形して　$6\cos^3\theta=\sqrt2\sin\theta$．この両辺を2乗すると

\[36\cos^6\theta=2\sin^2\theta\]

\[18\cos^6\theta-\sin^2\theta=0\]

　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より

\[\begin{align*} 18\cos^6\theta-(1-\cos^2\theta)&=0\\[5pt] 18\cos^6\theta+\cos^2\theta-1&=0\\[5pt] (3\cos^2\theta-1)(\underline{6\cos^4\theta+2\cos^2\theta+1}_{\mbox{①}})&=0 \end{align*}\]

　$\cos^2\theta=X$ とおくと，方程式① $=0$ は $6X^2+2X+1=0$ となり，判別式を $D$ とすると

\[D/4=1^2-6\cdot1=-5<0\]

となるから実数解をもたない．従って $3\cos^2\theta-1=0$ から $\cos\theta=\pm\dfrac1{\sqrt3}$．
　$0<\theta<\dfrac\pi2$ より　$\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$

解法2　[$\tan\theta$ で表す]

　$0<\theta<\dfrac\pi2$ により $\cos\theta\ne0$ であるから，与式の両辺を $\cos\theta$ で割ると

\[\begin{align*} 6\cos^2\theta-\sqrt2\tan\theta&=0\\[5pt] \dfrac6{1+\tan^2\theta}-\sqrt2\tan\theta&=0\\[5pt] \end{align*}\]

　$\tan\theta=t$ とおいて，分母を払うと

\[\begin{align*} 6-\sqrt2 \,t\,(1+t^2)&=0\\[5pt] t^3+t-3\sqrt2&=0\ \ \cdots(*)\\[5pt] (t-\sqrt2)(t^2+\sqrt2t+3)&=0\\[5pt] \end{align*}\]

　従って $t=\sqrt2$ となるから，$\tan\theta=\sqrt2$
　故に $0<\theta<\dfrac\pi2$ より　$\cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}$

　$(*)$ の式から因数分解する際，解の1つである $\sqrt2$ を発見的に見つけてくることは，定数項に $\sqrt2$ が含まれていることからそれほど困難ではないでしょう．