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高校数学[総目次]

数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

  スライド ノート 問題
1. 座標平面上の点      
2. 直線の方程式      
3. 円の方程式      
4. 円と直線      
5. 軌跡と方程式      
6. 不等式と領域      

1.座標平面上の点

1.1 数直線上の点

 数直線上の1点をPとするとき,Pに対応する実数 x をPの座標といい,P(x) で表す.例えば下の図では点Pが2に対応しているから P(2) と表す.

 数直線上に2点A,Bをとり,線分ABを考える.この線分を m:n に分ける方法として,内分と外分を説明する.内分の方は特に問題ないだろうが,外分の方は少しわかりにくいので注意を要する.

 内分や外分の概念は,数直線上の線分に限らず,一般の線分に対して定義されるが,ここでは数直線上の線分に限定して話を進める.

内分点

 数直線上の2点A,Bについて,線分AB上に点Pがあるとする.このとき,AP:PB=m:n であるならば,点Pは線分ABを m:n内分するといい,Pを内分点(ないぶんてん)という.

注意

 例えば 1:2 に内分するといっても「線分AB1:2 に内分する」というのと「線分BA1:2 に内分する」というのは異なる.要するにAとBのどちらの点を先に述べるかということである.

 数直線上の2点 A(a)B(b) について,線分ABを m:n に内分する点 P の座標 x を求めてみよう.

1° a<b のとき

(xa):(bx)=m:nn(xa)=m(bx)(m+n)x=na+mbx=na+mbm+n

2° a>b のとき

(ax):(xb)=m:nn(ax)=m(xb)(m+n)x=na+mbx=na+mbm+n

 1°,2° ともに同じ結果となるから次が成り立つ:

内分点 数直線上の2点A(a), B(b)について,線分ABをm:nに内分する点の座標は,na+mbm+n 特に,線分ABの中点(1:1に内分する点)の座標は,a+b2

  数直線上の2点 A(3)B(6) について,

(1) 線分ABを 2:1 に内分する点の座標

1×3+2×62+1=5

(2) 線分ABの中点

3+62=92

外分点

 数直線上の2点A,Bについて,数直線上の線分ABの外側に点Qがあるとする.このとき,AQ:QB=m:n であるならば,点Qは線分ABを m:n外分するといい,Pを外分点(がいぶんてん)という.

 内分のときと違って外分は少し難しい.数直線上の2点A,Bをとって線分ABを考えるところまでは同じなのであるが,内分のときには点Pを線分AB上にとったのに対し,外分では数直線上の線分AB以外のところ,つまり外側にとるのである.

 外分を理解するために,「線分ABを 2:1 に外分する点P」と「線分ABを 1:2 に外分する点Q」の2つを例にとろう.ポイントは「ひと筆書き」である.

1° 線分ABを 2:1 に外分する点P

 数直線上のAに鉛筆を置き,そこから数直線に沿って2だけ進んだところにPを書く.ただしPは線分ABの外側にとる.そして鉛筆を浮かすことなくそこから1だけ移動させるとBにたどり着く.そのような点Pが線分ABを 2:1 に外分する点である.

アニメーション
線分ABを 2:1 に外分する点P

2° 線分ABを 1:2 に外分する点Q