高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 座標平面上の点 | |||
| 2. 直線の方程式 | |||
| 3. 円の方程式 | |||
| 4. 円と直線 | |||
| 5. 軌跡と方程式 | |||
| 6. 不等式と領域 |
1．座標平面上の点
1.1 数直線上の点
数直線上の1点をPとするとき，Pに対応する実数 $x$ をPの座標といい，${\rm P}(x)$ で表す．例えば下の図では点Pが2に対応しているから ${\rm P}(2)$ と表す．
数直線上に2点A，Bをとり，線分ABを考える．この線分を $m:n$ に分ける方法として，内分と外分を説明する．内分の方は特に問題ないだろうが，外分の方は少しわかりにくいので注意を要する．
内分や外分の概念は，数直線上の線分に限らず，一般の線分に対して定義されるが，ここでは数直線上の線分に限定して話を進める．
内分点
数直線上の2点A，Bについて，線分AB上に点Pがあるとする．このとき，${\rm AP:PB=}m:n$ であるならば，点Pは線分ABを $m:n$ に内分するといい，Pを内分点（ないぶんてん）という．
注意
例えば $1:2$ に内分するといっても「線分ABを $1:2$ に内分する」というのと「線分BAを $1:2$ に内分する」というのは異なる．要するにAとBのどちらの点を先に述べるかということである．
数直線上の2点 ${\rm A}(a)$，${\rm B}(b)$ について，線分ABを $m:n$ に内分する点 ${\rm P}$ の座標 $x$ を求めてみよう．
1° $a<b$ のとき
\[\begin{align*}
(x-a):(b-x)&=m:n\\[5pt]
n(x-a)&=m(b-x)\\[5pt]
(m+n)x&=na+mb\\[5pt]
\therefore x&=\frac{na+mb}{m+n}
\end{align*}\]
2° $a>b$ のとき
\[\begin{align*}
(a-x):(x-b)&=m:n\\[5pt]
n(a-x)&=m(x-b)\\[5pt]
(m+n)x&=na+mb\\[5pt]
\therefore x&=\frac{na+mb}{m+n}
\end{align*}\]
1°，2° ともに同じ結果となるから次が成り立つ：
内分点 数直線上の2点A$(a)$, B$(b)$について，線分ABを$m:n$に内分する点の座標は，\[\frac{na+mb}{m+n}\] 特に，線分ABの中点（$1:1$に内分する点）の座標は，\[\frac{a+b}2\]
例 数直線上の2点 ${\rm A}(3)$，${\rm B}(6)$ について，
(1) 線分ABを $2:1$ に内分する点の座標
\[\frac{1\times3+2\times6}{2+1}=5\]
(2) 線分ABの中点
\[\frac{3+6}2=\frac92\]
外分点
数直線上の2点A，Bについて，数直線上の線分ABの外側に点Qがあるとする．このとき，${\rm AQ:QB=}m:n$ であるならば，点Qは線分ABを $m:n$ に外分するといい，Pを外分点（がいぶんてん）という．
内分のときと違って外分は少し難しい．数直線上の2点A，Bをとって線分ABを考えるところまでは同じなのであるが，内分のときには点Pを線分AB上にとったのに対し，外分では数直線上の線分AB以外のところ，つまり外側にとるのである．
外分を理解するために，「線分ABを $2:1$ に外分する点P」と「線分ABを $1:2$ に外分する点Q」の2つを例にとろう．ポイントは「ひと筆書き」である．
1° 線分ABを $2:1$ に外分する点P
数直線上のAに鉛筆を置き，そこから数直線に沿って2だけ進んだところにPを書く．ただしPは線分ABの外側にとる．そして鉛筆を浮かすことなくそこから1だけ移動させるとBにたどり着く．そのような点Pが線分ABを $2:1$ に外分する点である．
線分ABを $2:1$ に外分する点P
2° 線分ABを $1:2$ に外分する点Q