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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

  スライド ノート 問題
1. 座標平面上の点      
2. 直線の方程式      
3. 円の方程式      
4. 円と直線      
5. 軌跡と方程式      
6. 不等式と領域      

3．円の方程式

3.1　円の方程式

円とは？

　定点から等しい距離にある点の集合

　定点(円の中心)を${\rm C}(a,b)$，等しい距離(半径)を $r$ とし，円周上の任意の点の座標を${\rm P}(x,y)$ とすると， \[{\rm CP}=r\iff {\rm CP}^2=r^2\] であるから，2点間の距離の公式より \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] が成り立つ．

円の方程式　中心 $(a,b)$，半径 $r$ の円の方程式は\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]　特に中心が原点のとき，\[x^2+y^2=r^2\]

例　中心$(2,-1)$，半径5の円の方程式は，\[(x-2)^2+(y+1)^2=25\]

コラム　そもそも図形の方程式とは何か？

　これまでに登場した図形の方程式――例えば直線を表す $y=mx+n$ や放物線を表す $y=ax^2+bx+c$ ――に加え，ここで円の方程式である $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ が新たに登場した．直前で示したように，この方程式の導出には僅か数行を要するのみである．その簡潔さ，あるいは明快さと呼ぶべきものは，確かに印象的であり，むしろあっけないほどでさえある．しかしこうした説明を経た直後であっても「円 $x^2+y^2=25$ の中心と半径を求めよ」という問いに直面したとき，いささかの戸惑い，あるいは茫然自失にも似た感覚を覚える方が，決して少なくない割合で存在するという事実――それは，いかにして説明がなされたかということとは別の次元で，数学的思考の困難さそのものを示唆しているようにも思われるのである．「$y=$」の形に整えられていないその佇まいからして既に心中穏やかならざるものを覚えるのであろうか．恐らく円の方程式に対する理解が十分でないのみならず，そもそも図形の方程式とは何かという根本的な理解自体がなお不十分であることの表れであろう．

　原点を中心とする半径5の円を考えよう．図形を式によって表現するためには，図形そのものを無数の点の集まりとして認識することが不可欠である．この円周上に載っている点の例を挙げれば