軌跡の定義と方程式の導き方｜必要・十分条件と例題をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

	スライド	ノート	問題
1. 座標平面上の点
2. 直線の方程式
3. 円の方程式
4. 円と直線
5. 軌跡と方程式
6. 不等式と領域

5．軌跡と方程式

5.1　軌跡

軌跡とは？

　ある条件を満たす点全体が作る図形

例1　条件：定点Cから一定の距離 $r$ にある
　　　→　軌跡は中心C，半径 $r$ の円

例2　条件：2点A，Bから等距離にある
　　　→　軌跡は線分ABの垂直二等分線

5.2　軌跡の求め方

　ある条件Cを満たす点Pの軌跡が図形がFである とは

条件Cを満たす点Pの軌跡$\iff$図形F

を意味する．従って，　　　　の部分を示すには，

[1] 「$\Rightarrow$」即ち条件Cを満たす点はすべて図形F上にある．(必要条件)

[2] 「$\Leftarrow$」即ち図形F上の点はすべて条件Cを満たす．(十分条件)

の2つを示さなければならない．

例題　2点A$(0,1)$とB$(3,4)$から等距離にある点P$(x,y)$の軌跡を求めよ．

[1](必要性)
　AP$=$BP $\cdots$ ①より，AP$^2=$BP$^2\ \cdots$②
　従って，$x^2\!+\!(y\!-\!1)^2\!=\!(x\!-\!3)^2\!+\!(y\!-\!4)^2\ \cdots$③
　整理して，$x+y-4=0\ \cdots$④
　よって条件を満たす点は，直線④上にある．

[2](十分性)
　直線④上の点は③を満たし，
　③は②を意味し，
　AP$>0$，BP$>0$ であるから ② $\Longrightarrow$ ①

　[1]，[2]より，点P$(x,y)$ について，

AP$=$BP $\iff x+y-4=0$

よって求める軌跡は，直線 $\boldsymbol{x+y-4=0}$

補足

　[2]については本問のように計算の逆をたどることで成り立つことが明らかならば省略することも多い．

[2]に注意を要する例

例題　線分ABを底辺とする二等辺三角形の頂点Pの軌跡を求めよ．