三角比の基礎｜正接(tan)・正弦(sin)・余弦(cos)の定義と覚え方をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第2章　三角比

	スライド	ノート	問題
1. 正接，正弦，余弦
2. 三角比の相互関係
3. 三角比の拡張
4. 正弦定理
5. 余弦定理
6. 三角形の面積

1．正接・正弦・余弦

　以下での考察の対象は直角三角形である．図のように直角三角形の直角が右下にくるように配置したとき，斜辺以外の残りの2つの辺を底辺，高さと呼ぶことにしよう．これら3つの辺から2本を選ぶ組合せは

{底辺，高さ}，{斜辺，高さ}，{斜辺，底辺}

の3通りある．そしてこれらの組から

$\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$，$\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{斜辺}}$，$\dfrac{\mbox{底辺}}{\mbox{斜辺}}$

という分数を考え，順に正接(せいせつ)，正弦(せいげん)，余弦(よげん)と呼ぶ．これら3つを三角比というのである．

1.1　正接(tan)

正接とは何か～まずは具体例から

　図の3つの直角三角形ABC，A$’$B$’$C$’$，A$^{\prime\prime}$B$^{\prime\prime}$C$^{\prime\prime}$ は，左下の角の大きさがどれも $\theta$ (シータ) であるから，どの直角三角形もこの $\theta$ と直角(90°)の2つの角が共通している．従って「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件により，これら3つの直角三角形はすべて相似である．

※ $\theta$ はギリシャ文字である．読み方は「シータ」．

　これら3つの相似な直角三角形の相似比(つまり辺の長さの比)が，例えば $1:2:3$ だとすれば，斜辺以外の辺の長さは下図のようになっているであろう．

　ここで $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ を計算してみると左から順に

$$\dfrac34,\hspace{4mm}\dfrac68,\hspace{4mm}\dfrac9{12}$$

となり，約分すれば皆同じ値となる．今 $1:2:3$ の場合を見ただけにすぎないが，いかなる相似比であろうと，左下の角の大きさが $\boldsymbol{\theta}$ であるような直角三角形ならこの $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ は同じ値となることが理解できよう．すなわち直角三角形の $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ の値は，三角形の大きさにはよらず，左下の角 $\theta$ のみによって決まるのだ．

　この $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ の値である $\dfrac34$ を指して「角 $\theta$ の正接」というのである．

正接とは何か～続いて一般論

　上の図において，3つの直角三角形ABC，AB$’$C$’$，AB$^{\prime\prime}$C$^{\prime\prime}$ は，∠Aが共通であるからすべて相似である（相似条件は「2組の角がそれぞれ等しい」）．従って

$$\frac{{\rm BC}}{{\rm AC}}=\frac{{\rm B’C’}}{{\rm AC’}}=\frac{{\rm B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}}{{\rm AC^{\prime\prime}}}$$

が成り立つ．この比(分数)の値は直角三角形の大きさにはよらず，$\angle{\rm A}$の大きさのみで決まる．

　図の $\angle{\rm A}$ について，直角三角形の $\dfrac{\mbox{高さ}}{\mbox{底辺}}$ を $\angle{\rm A}$ の正接(せいせつ，タンジェント，tangent)という．

覚え方

　$\tan\theta$ は，$\boldsymbol\theta$ の角が左下に，直角が右下にくるように三角形を配置させたのち，tan の「 t 」を筆記体で書く順序で比を作ると得られる．(次のアニメーションを参照)

三角比を考えるときは
$\boldsymbol \theta$ を左下へ，直角を右下へ

例

　次の3つの直角三角形は，3つの辺の比が簡単な値であることから特別な直角三角形として最もよく利用される．辺の比が図のようになることは三平方の定理(の逆)から確認できる．

$$\begin{array}{lll} \tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}, & \tan45^\circ=1, & \tan60^\circ=\sqrt3 \end{array}$$

補足1

tanは有理化しないこともある