高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第2章 三角比
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 正接，正弦，余弦 | |||
| 2. 三角比の相互関係 | |||
| 3. 三角比の拡張 | |||
| 4. 正弦定理 | |||
| 5. 余弦定理 | |||
| 6. 三角形の面積 |
3. 三角比の拡張
演習問題
問題１【基本】
原点Oを中心とする半径5の円周上に点Pがあり，OPと $x$ 軸の正の向きとのなす角が $θ=150^\circ$ であるとする．点Pの座標を求め，$\sin150^\circ$，$\cos150^\circ$，$\tan150^\circ$ の値を求めよ．
問題２【基本】
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
問題２【基本】
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
問題３【基本】
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\tan\theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
問題４【基本】
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
問題５【基本】
$0\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき，$\cos\theta = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
問題６【基本】
$\sin120^\circ,\ \cos120^\circ,\ \tan120^\circ$ の値を，$\sin60^\circ,\ \cos60^\circ,\ \tan60^\circ$ を用いて表し，それぞれの値を求めよ．
問題７【基本】
$\sin120^\circ,\ \cos120^\circ,\ \tan120^\circ$ の値を，$\sin60^\circ,\ \cos60^\circ,\ \tan60^\circ$ を用いて表し，それぞれの値を求めよ．
解答
点Pの座標の求め方
原点Oを中心とする半径 $r$ の円周上の点は，$(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ と表すことができます．半径 $r=5$，$\theta=150^\circ$ の場合，
\[(5\cos150^\circ,\ 5\sin150^\circ)\]
となります．$\cos150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin150^\circ = \dfrac{1}{2}$ なので，
\[\begin{align*}
x &= 5 \times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \\[5pt]
y &= 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}
\end{align*}\]
点Pの座標
$\boxed{\left(-\dfrac{5\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{5}{2}\right)}$
三角比の値
$\sin150^\circ = \dfrac{y}{r} = \dfrac{\frac52}{5} = \dfrac{1}{2}$
$\cos150^\circ = \dfrac{x}{r} = \dfrac{\frac{-5\sqrt3}2}{5} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan150^\circ = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\frac52}{\frac{-5\sqrt3}2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
答
$\boxed{\sin150^\circ = \dfrac{1}{2},\ \cos150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \tan150^\circ = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$
解答
$\sin\theta$ は $y$ 座標に関係しているので，単位(半)円周上で $y=\dfrac12$ となるような点を考えます．