一般角の三角関数と単位円による定義・値の範囲をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

2．一般角の三角関数

2.1　三角関数の定義

三角関数とは何か

　数学Ⅰの三角比のところで，角 $θ$ を $0^{\circ}$ や $90^{\circ}$ 以上に拡張した際のアイデアは，そのまま一般角 $θ$ に対する $\sin$ ， $\cos$ ， $\tan$ に適用することができる．

　 $x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $θ$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし，その座標を $(x, y)$ とする．このとき， $\sin θ$ ， $\cos θ$ ， $\tan θ$ を次で定義する：

三角関数の定義 $\begin{aligned} \sin θ & = \frac{y}{r} \\ \cos θ & = \frac{x}{r} \\ \tan θ & = \frac{y}{x} (θ \neq \frac{π}{2} + n π, n は整数) \end{aligned}$

　この定義によれば， $\sin θ$ ， $\cos θ$ ， $\tan θ$ の各値は，相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず， $θ$ によってただ1つ定まる．つまり角 $θ$ の関数である．これら $\sin θ$ ， $\cos θ$ ， $\tan θ$ を三角関数という．

例　 $θ = - \frac{π}{3}$ のときの， $\sin θ$ ， $\cos θ$ ， $\tan θ$

答　 $- \frac{π}{3}$ の動径と，半径2の円との交点をPとすると，Pの座標は $(1, - \sqrt{3})$ であるから，

$\begin{aligned} \sin (- \frac{π}{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \\ \tan (- \frac{π}{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1} = - \sqrt{3} \end{aligned}$

　代表的な三角関数の値をまとめると次の表のようになる：

$θ$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\sin θ$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos θ$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
$\tan θ$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	–

$θ$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$\sin θ$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	1
$\cos θ$	0	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{\sqrt{2}}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	0
$\tan θ$	–	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	0

2.2　単位円における三角関数

三角関数は単位円で考えるのが基本

　原点を中心とする半径1の円を単位円という．

　単位円で三角関数を考えると，半径 $r = 1$ であるから次のようになる：

単位円での三角関数 $\begin{aligned} \sin θ & = y \\ \cos θ & = x \\ \tan θ & = \frac{y}{x} \end{aligned}$

　今後三角関数は基本的に単位円を用いて考えていくことになる．その理由は何か．単に $\sin θ, \cos θ$ が分数の表記を取らないからラクだというのは些細なメリットで，それよりずっと大きなメリットは図のように角 $θ$ の動径をOPとすると，

$\sin θ$ はPの $y$ 座標そのもの
$\cos θ$ はPの $x$ 座標そのもの

となることである．つまり

三角関数を単位円で考えることの意義

$\sin θ, \cos θ$ の視覚化

であり，これは誠に重要である．

補足

第2，3象限での $\tan θ$ の視覚化

　 $θ$ が第2，第3象限の角のとき， $\tan θ$ の視覚化については次のように考える：

$\tan θ = \frac{y}{x} = \frac{- y}{- x} = \frac{m}{1} = m$

　※2点 $(x, y), (- x, - y)$ は原点に関して対称である．

例題　 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき， $\cos θ = - \frac{1}{2}$ を満たす $θ$ の値はを求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　図より， $\underset{―}{θ = \frac{2}{3} π, \frac{4}{3} π}$

2.3　三角関数の符号と取りうる値の範囲

三角関数の符号

三角関数の符号も単位円で考える

　単位円で考えたときの三角関数は

$\sin θ = y, \cos θ = x, \tan θ = \frac{y}{x}$

であったから， $\sin θ$ は $y$ 座標に， $\cos θ$ は $x$ 座標にそれぞれ関係している．そして $\tan θ$ は $\frac{y}{x}$ であったから， $\sin θ$ と $\cos θ$ の符号を掛けたものとして考えることができる．

三角関数の取りうる値の範囲

三角関数の値域も単位円で考える

　すぐ上の符号のときと同様に，単位円で三角関数を考えてみる．単位円とは原点を中心とする半径1の円のことであったから， $x$ 座標， $y$ 座標とも $- 1$ 以上 $1$ 以下の値しかとれない．つまり $\sin θ$ や $\cos θ$ のとりうる値の範囲は， $- 1$ 以上 $1$ 以下である．
　一方 $\tan θ$ の方は，上の視覚化のところで見たように，いくらでも大きな値や小さな値がとれる．すなわち $\tan θ$ のとりうる値の範囲は実数全体である．

三角関数のとりうる値の範囲 $- 1 ≦ \sin θ ≦ 1$ $- 1 ≦ \cos θ ≦ 1$

$\tan θ$ はすべての実数値をとりうる

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