3．三角関数の性質【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

演習問題

解答

解法1　[$\cos \theta$ で表す]

　与式を変形して　$6{\cos }^3\theta =\sqrt{2}\sin \theta$．この両辺を2乗すると

$$36{\cos }^6\theta =2{\sin }^2\theta$$

$$18{\cos }^6\theta -{\sin }^2\theta =0$$

　${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

$$\begin{array}{rl}18{\cos }^6\theta -(1-{\cos }^2\theta )& =0\\ 18{\cos }^6\theta +{\cos }^2\theta -1& =0\\ (3{\cos }^2\theta -1)({\underset{―}{6{\cos }^4\theta +2{\cos }^2\theta +1}}_{\text{①}})& =0\end{array}$$

　${\cos }^2\theta =X$ とおくと，方程式① $=0$ は $6X^2+2X+1=0$ となり，判別式を $D$ とすると

$$D/4=1^2-6\cdot 1=-5<0$$

となるから実数解をもたない．従って $3{\cos }^2\theta -1=0$ から $\cos \theta =\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$．
　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ より　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

解法2　[$\tan \theta$ で表す]

　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ により $\cos \theta \ne 0$ であるから，与式の両辺を $\cos \theta$ で割ると

$$\begin{array}{rl}6{\cos }^2\theta -\sqrt{2}\tan \theta & =0\\ {\displaystyle \frac{6}{1+{\tan }^2\theta }}-\sqrt{2}\tan \theta & =0\end{array}$$

　$\tan \theta =t$ とおいて，分母を払うと

$$\begin{array}{rl}6-\sqrt{2}t(1+t^2)& =0\\ t^3+t-3\sqrt{2}& =0\cdots (\ast )\\ (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2}t+3)& =0\end{array}$$

　従って $t=\sqrt{2}$ となるから，$\tan \theta =\sqrt{2}$
　故に $0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ より　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

　$(\ast )$ の式から因数分解する際，解の1つである $\sqrt{2}$ を発見的に見つけてくることは，定数項に $\sqrt{2}$ が含まれていることからそれほど困難ではないでしょう．