三角関数のグラフの描き方・変換・特徴をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

4．三角関数のグラフ

4.1　$\sin\theta$ のグラフ

$\sin\theta$ のグラフとは

　$y=\sin\theta$ のグラフとはどのようなものであろうか．$y=x+1$ であれば， $x$ の各値に対して　$y$ がただ一つ定まり，その $(x,y)$ の組を座標平面にかいていけばよいのであり，特段難しいところはないであろう．これと同じことを $y=\sin\theta$ でも考えて，各 $\theta$ の値に対してただ一つ定まる $y$ の値を組にして， $(\theta, y)$ を座標平面にかいていけばよいのだ． $\theta$ が文字としてとっつきにくいなら横軸を $x$ に代えて $y=\sin x$ のグラフを考えてもよい．

　注意しておかなければならないのは，角度を表す $\theta$ は弧度法を用いるということである．度数法と弧度法の換算は

180° ＝ $\pi$ ラジアン

である．別の書き方をすれば

180° = 3.1415 … ラジアン

となる．従って，

$\theta$	0	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$
$\sin\theta$	0	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	1

というのは

$\theta$	0	$0.52\cdots$	$0.78\cdots$	$1.04\cdots$	$1.57\cdots$
$\sin\theta$	0	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	1

と表すこともできる．

　$\sin\theta$ のグラフは曲線となるから，グラフを描くときはできるだけ多くの $\theta$ とその値に対する $\sin\theta$ の値をとってプロットした方が正確な図が描ける．しかしながら上の表にあるようないくつかの $\theta$ の値以外の $\sin\theta$ の値を計算することは簡単ではない．この辺りの事情は，同じようにグラフが曲線となる $y=x^2$ などのグラフをかく場合と著しく異なる．

$\sin\theta$ のグラフをコンピュータで描いてみる

　下のアニメーションは，

$\sin\theta$ は単位円周上の点の $y$ 座標である

という事実を用いてグラフを描く方法である．

　$y=\sin\theta$ のグラフのかき方は，スライド(会員向け)でもパラパラ漫画的にわかりやすく解説しています．

　実際に人が手でグラフをかく場合には，アニメーションのような手法で厳密にグラフを描くことは困難なので，私たちがよく知っているいくつかの $\theta$ に対する $\sin\theta$ の値を取り，あとは滑らかに連結することで済ませることが多い．

単位円では中心「角」と弧の「長さ」が等しい

　弧度法では，単位円(半径1の円)における中心角とそれに対応する弧の長さが等しい．つまり中心角が $\theta$ なら弧の長さも $\theta$ である^(※注)．下の図は，弧の長さをそのまま $x$ 軸上にもってくれば $\theta$ の値が取れることを示したものであり，上のアニメーションでは緑色の線がそれを表す．

※注　これは弧度法の定義 である．例えば中心角 $\dfrac\pi4$ の弧の長さは $\dfrac\pi4$，中心角 $\dfrac\pi2$ の弧の長さは $\dfrac\pi2$ 等々．

$y=\sin\theta$ のグラフは原点に関して対称

　$y=\sin\theta$ のグラフは原点に関して対称となっている．これは奇関数に見られる特徴である．また，$\sin\theta$ の周期は $2\pi$ であるから $2\pi$ ごとにグラフが繰り返される．

4.2　$\cos\theta$ のグラフ

$\cos\theta$ のグラフとは

　$y=\cos\theta$ のグラフのかき方は，スライド(会員向け)でパラパラ漫画的にわかりやすく解説しています．

　$\cos\theta$ は単位円周上の点の $x$ 座標であった．従って $\sin\theta$ のときと同じように描こうとすると，元となる単位円を反時計回りに90°回転させなくてはならない．それを避けるために，$\cos\theta$ の値からではなく，$y=\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac\pi2\right)$ の関係を利用した次のような作図法が考えられている．$\sin$ の値は単位円周上の点の $y$ 座標であるから，$\sin\left(\theta+\dfrac\pi2\right)$ の値をそのまま水平右側にもっていけば，$\cos\theta$ の値が得られるという訳である．

4.3　$\tan\theta$ のグラフ

$\tan\theta$ のグラフとは