三角関数(sin, cos, tan)の加法定理と2直線のなす角の公式｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

5．三角関数の加法定理

5.1　sin, cos の加法定理

$$\begin{array}{rl}& [1]\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ & [2]\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ & [3]\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ & [4]\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$

証明

[4]

　P$(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，Q$(\cos \beta ,\sin \beta )$ とおく．

　距離の公式により， $$\begin{array}{rl}{\mathrm{P}\mathrm{Q}}^2& =(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2\\ & =2\{1-(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )\}\end{array}$$

　ここで，P，Qを原点を中心に $-\beta$ だけ回転した点をそれぞれP${}^{\prime }$，Q${}^{\prime }$ とすると，${\mathrm{P}}^{\prime }(\cos (\alpha -\beta ),\sin (\alpha -\beta ))$，${\mathrm{Q}}^{\prime }(1,0)$ となる：

　再び距離の公式により， $$\begin{array}{rl}{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }}^2& =\{\cos (\alpha -\beta )-1{\}}^2+\{\sin (\alpha -\beta )-0{\}}^2\\ & =2\{1-\cos (\alpha -\beta )\}\end{array}$$ 　$\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^2={\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime 2}$ により， $$2\{1-(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )\}=2\{1-\cos (\alpha -\beta )\}$$ 　整理して $$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

[3]

　[4] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると， $$\begin{array}{rl}\cos \{\alpha -(-\beta )\}& =\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )\\ \therefore \cos (\alpha +\beta )& =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$

[1]

　[3] で $\alpha$ を $\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ におきかえると， $$\begin{array}{rl}\cos \{(\alpha +\frac{\pi }{2})+\beta \}& =\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})\cos \beta -\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})\sin \beta \\ \therefore -\sin (\alpha +\beta )& =-\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ \therefore \sin (\alpha +\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{array}$$

[2]

　[1] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると， $$\begin{array}{rl}\sin \{\alpha +(-\beta )\}& =\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )\\ \therefore \sin (\alpha -\beta )& =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \end{array}$$

■

例

$$\begin{array}{rl}\sin \frac{7}{12}\pi & =\sin (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4})\\ & =\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\underset{―}{\frac{\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos \frac{7}{12}\pi & =\cos (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4})\\ & =\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\underset{―}{\frac{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{4}}}\end{array}$$

5.2　tan の加法定理

$$\begin{array}{rl}& [1]\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\\ & [2]\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\end{array}$$

証明

$$\begin{array}{rl}\tan (\alpha +\beta )& =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }\\ & =\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{1-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\ & =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\end{array}$$ 　$\beta$ を $-\beta$ におきかえると， $$\begin{array}{rl}\tan \{\alpha +(-\beta )\}& =\frac{\tan \alpha +\tan (-\beta )}{1-\tan \alpha \tan (-\beta )}\\ \therefore \tan (\alpha -\beta )& =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\end{array}$$

■

5.3　直線の傾きと tan

　直線 $y=mx$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると，$\tan \theta$ の値は，「2.2 単位円における三角関数」で確認したように2直線 $y=mx$ と $x=1$ との交点の $y$ 座標として現れる：

$\tan \theta =m$
(ただし，$0\leqq \theta <\pi ,\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

　このとき，直線 $y=mx$ に平行である直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角も $\theta$ であるから，一般に次が成り立つ：

直線の傾きとtan 　直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると， $$\tan \theta =m$$ $$(\text{ただし，}0\leqq \theta <\pi ,\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$

5.4　2直線のなす鋭角

　2直線 $y=m_{1}x+n_1,y=m_{2}x+n_2$ のなす鋭角を $\theta$ とすると，$$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$$

証明

　2直線 $y=m_{1}x+n_1$，$y=m_{2}x+n_2$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角をそれぞれ ${\theta }_1$，${\theta }_2$ (ただし，$0\leqq \theta <\pi ,\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ とすると， $$\tan {\theta }_1=m_1,\tan {\theta }_2=m_2$$ である．
　ここで，${\theta }_1-{\theta }_2=A$ とおくと，2直線のなす鋭角 $\theta$，及び $\tan \theta$ は，$A$ の値によって次の4通りに場合分けされる：

　$[1]0\leqq A<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき，$\theta =A$ $$\therefore \tan \theta =\tan A$$ 　$[2]{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<A<\pi$ のとき，$\theta =\pi -A$ $$\therefore \tan \theta =\tan (\pi -A)=-\tan A$$ 　$[3]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<A<0$ のとき，$\theta =-A$ $$\therefore \tan \theta =\tan (-A)=-\tan A$$ 　$[4]-\pi <A<-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき，$\theta =\pi +A$ $$\therefore \tan \theta =\tan (\pi +A)=\tan A$$

　上のいずれの場合も， $$\tan \theta =|\tan A|$$ であるから， $$\begin{array}{rl}\tan \theta & =|\tan A|\\ & =|\tan ({\theta }_1-{\theta }_2)|\\ & =\left|\frac{\tan {\theta }_1-\tan {\theta }_2}{1+\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2}\right|\\ & =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|\end{array}$$

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7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用