三角関数の種々の公式｜2倍角・半角・3倍角・積和・和積をスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

6．三角関数の種々の公式

6.1　2倍角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数がわかると，その2倍の大きさである $2\alpha$ の三角関数が計算できる．それが次の2倍角の公式である．

2倍角の公式\[\begin{align*} &\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\[10pt] &\cos2\alpha=\left\{\begin{array}{l} \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ 1-2\sin^2\alpha\\ 2\cos^2\alpha-1 \end{array}\right.\\[10pt] &\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\]

証明

sin の加法定理

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと， \[\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\] \[\therefore \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

cos の加法定理

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと，\[\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\cos\alpha\] \[\therefore \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ \ \cdots\mbox{①}\]

　①を sin だけの式にすると，
\[\begin{align*}
\cos2\alpha&=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\[5pt]
&=1-2\sin^2\alpha
\end{align*}\]

　また，①を cos だけの式にすると， \[\begin{align*} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\[5pt] &=2\cos^2\alpha-1 \end{align*}\]

tan の加法定理

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]
において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと，
\[\begin{align*}
\tan(\alpha+\alpha)&=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}\\[5pt]
\therefore \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\end{align*}\]

■

例題　$0<\alpha<\dfrac\pi2$ で，$\sin\alpha=\dfrac35$ のとき，$\sin2\alpha,\cos2\alpha,\tan2\alpha$ の値を2倍角の公式を用いて求めよ．

こたえ

　解答例を表示する >

　$0<\alpha<\dfrac\pi2$ のとき，$\cos\alpha>0$ だから

\[\begin{align*}
&\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16}
{25}}=\frac45\\[5pt]
&\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34
\end{align*}\]

　よって

\[\begin{align*}
&\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}\\[5pt]
&\cos2\alpha=\left(\frac45\right)^2-\left(\frac35\right)^2=\frac7{25}\\[5pt]
&\tan2\alpha=\frac{2\cdot\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{24}7
\end{align*}\]

6.2　半角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数が与えられると，その半分の角である $\dfrac\alpha2$ の三角関数も計算することができる．それが次の半角の公式である．

半角の公式
\[\begin{align*} &\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}2\\[10pt] &\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2\\[10pt] &\tan^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align*}\]

証明

　$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より
\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2\]
　$\alpha$ を $\dfrac\alpha2$ におきかえて，
\[\begin{align*}
\sin^2\frac\alpha2&=\frac{1-\cos\left(2\cdot\frac\alpha2\right)}2\\[5pt]
&=\frac{1-\cos\alpha}2
\end{align*}\]
　$\cos^2\dfrac\alpha2$ も $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ より同様に計算できる．

\[\begin{align*}
\tan^2\frac\alpha2&=\left(\frac{\sin\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2}\right)^2\\[5pt]
&=\frac{\sin^2\frac\alpha2}{\cos^2\frac\alpha2}\\[5pt]
&=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}
\end{align*}\]

■

注意

　公式の左辺を見ればわかるように，半角公式では $\dfrac\alpha2$ の三角関数が得られるのではなく，それらを2乗した値が得られる．$\dfrac\alpha2$ そのものの三角関数を得るには平方根をとればよいが，正負どちらになるのかを条件から判定する必要がある．

例題　$\dfrac\pi2<\alpha<\pi$ で，$\sin\alpha=\dfrac35$ のとき，$\sin\dfrac\alpha2,\cos\dfrac\alpha2,\tan\dfrac\alpha2$ の値を半角の公式を用いて求めよ．

こたえ