高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 一般角と弧度法 | |||
| 2. 一般角の三角関数 | |||
| 3. 三角関数の性質 | |||
| 4. 三角関数のグラフ | |||
| 5. 三角関数の加法定理 | |||
| 6. 三角関数の種々の公式 | |||
| 7. 三角関数の合成 | |||
| 8. 三角関数の応用 |
6．三角関数の種々の公式
演習問題
問題１【基本】
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$，かつ $\cos \theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、次の値を2倍角の公式を用いて求めよ。
(1) $\sin 2\theta$
(2) $\cos 2\theta$
(3) $\tan 2\theta$
問題２【基本】
$\pi < \theta < \dfrac32\pi$，かつ $\cos\theta = -\dfrac{12}{13}$ のとき，次の値を半角の公式を用いて求めよ．
(1) $\sin \dfrac{\theta}{2}$
(2) $\cos \dfrac{\theta}{2}$
(3) $\tan \dfrac{\theta}{2}$
問題３【基本】
次の積を積和公式で表し，値を求めよ．\[\cos45^\circ \sin15^\circ\]
解答
(1) $\sin 2\theta$
$0 < \theta < \pi/2$ より $\sin\theta>0$ であるから，
\[\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta} = \sqrt{1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}\]
従って、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ より
\[\sin 2\theta = 2 \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}\]
(2) $\cos 2\theta$
\[\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta – 1 = 2 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 – 1 = -\dfrac{7}{25}\]
(3) $\tan 2\theta$
\[\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{\frac45}{\frac35} = \dfrac{4}{3}\]
\[\tan 2\theta = \dfrac{2 \tan \theta}{1 – \tan^2 \theta} = \dfrac{2\times \frac{4}{3}}{1 – \left(\frac{4}{3}\right)^2} = -\dfrac{24}{7}\]