三角関数の合成公式(sin, cos)｜証明や使い方のコツをスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法
2. 一般角の三角関数
3. 三角関数の性質
4. 三角関数のグラフ
5. 三角関数の加法定理
6. 三角関数の種々の公式
7. 三角関数の合成
8. 三角関数の応用

7．三角関数の合成

7.0　三角関数の合成とは

三角関数の合成とは何か

　三角関数の合成公式と呼ばれるものがある．$\sin$ と $\cos$ の1次式を $\sin$ だけ，あるいは $\cos$ だけで書き表すもので，これは要するに $\sin$，$\cos$ の加法定理 で，右辺から左辺への書き換えのことである．例えば sin の加法定理である

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

という式について，左辺と右辺を入れ替えた

$$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$$

が三角関数の sin による合成公式であると，大雑把に言うことができる．

7.1　sin での合成

$a\sin \theta +b\cos \theta$ を sin だけの式にする

　$\sin$ の加法定理 である $$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ において，右辺から左辺に書き換えるのが $\sin$ での合成である．

例　$\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =\text{□}\sin (\theta +\mathrm{△})$

　この左辺を変形して，右辺のように $\sin$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．

手順

1. sin の係数である $\sqrt{3}$ と cos の係数である1の平方の和を計算し，正の平方根をとる．
   $$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$$
2. 手順1で求めた 2 で，式全体を無理矢理くくる．
   $\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =2(\sin \theta \cdot {\underset{―}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}_{\text{①}}+\cos \theta \cdot {\underset{―}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}_{\text{②}})$
3. $\sin (\theta +\alpha )=\sin \theta {\underset{―}{\cos \alpha }}_{\text{①}}+\cos \theta {\underset{―}{\sin \alpha }}_{\text{②}}$ (sinの加法定理)の右辺と比較して，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ (①)， $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (②)となるような角 $\alpha$ を探すと，$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ が当てはまる．
4. sinの加法定理で右辺から左辺の書き換えを行って完了．
   $$\begin{array}{rl}\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta & =2(\sin \theta \cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\cos \theta \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})\\ & =2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\end{array}$$

　以上の流れを式だけで表すと次のようになる：

$$\begin{array}{rl}(\text{左辺})& =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}(\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \theta \cdot \frac{1}{2})\\ & =\sqrt{3+1}\left(\underset{―}{\sin \theta \cdot \cos \frac{\pi }{6}+\cos \theta \cdot \sin \frac{\pi }{6}}\right)\\ & =2\underset{―}{\sin (\theta +\frac{\pi }{6})}\end{array}$$

※　　　の部分で $\sin$ の加法定理を用いた．

　一般に $$\begin{array}{rl}a& \sin \theta +b\cos \theta \\ & =\sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\cos \theta \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )\end{array}$$ 　ただし $\alpha$ は，

$$\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

となる角である．

覚え方

　三角関数を合成する際，上の手順書通りにやるとそれなりに手間がかかるが，実際には次のような考え方をとることで，慣れてくればほぼストレスフリーで合成完了までもっていけるようになる．

　座標平面上に，$\sin$ の係数を $x$ 座標に，$\cos$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(a,b)$ をとり，原点Oと結ぶ．この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\sin$ の係数であり，線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である．

三角関数の合成ができる型

　さて，三角関数が合成できる形は $a,b$ を実数の定数として

$$a\sin \theta +b\cos \theta$$

であって，

というのが特徴である．

例題　次の式を $r\sin (\theta +\alpha )$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi <\alpha <\pi$ とする．
(1)　$-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$
(2)　$-\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$
(3)　$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$

　解答例を表示する

(1)　$-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )$
　　　　　　　　　　$=2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )$

(2)　$-\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )$
　　　　　　　　　　$=2\sin (\theta -{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi )$

(3)　$\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$
　　　　　　　　　$=2\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

補足

　例えば(1)では，

$$\begin{array}{rl}-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta & =-(\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta )\\ & =-2\sin (\theta -\frac{\pi }{6})\end{array}$$

というように，合成後の $\sin$ の係数を負の数にすることもできるが，普通は正の数で表されることがほとんどである．

7.2　cos での合成

$a\sin \theta +b\cos \theta$ を cos だけの式にする

　$\sin$ で合成したものと同じ式である $a\sin \theta +b\cos \theta$ を，今度は $\cos$ で合成してみよう．

　$\cos$ の加法定理 である $$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$ において，右辺から左辺に書き換えるのが $\cos$ での合成である．

※　$\cos (\alpha +\beta )$ ではなく， $\cos (\alpha -\beta )$ とマイナスになっていることに注意．下の「注意」も参照．

例　$\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =\text{□}\cos (\theta -\mathrm{△})$

　この左辺を変形して，右辺のように $\cos$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．