6. 媒介変数表示と導関数【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数と導関数	[無料]
2. 合成関数の導関数	[無料]
3. 逆関数の微分法	[無料]
4. 三角関数の導関数
5. 対数関数・指数関数の導関数
6. 媒介変数表示と導関数
7. 陰関数の導関数
8. 平均値の定理
9. 関数の値の変化
10. 関数の極大・極小
11. 関数のグラフ

6．媒介変数表示と導関数

6.1 媒介変数表示と導関数

　例として $y=x^2-2x+3$ で表される曲線を $C$ とする．$C$ はおなじみ放物線である．この曲線上の点には

$$(-1,6),(0,3),(1,2)$$

などがある．ここで，$x$ が $t$ を用いて $x=t+1$ と表されているならば，曲線の式に代入すると $y$ は

$$y=(t+1{)}^2-2(t+1)+3=t^2+2$$

と表せる．すなわち曲線 $C$ 上の点が

$$\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t^2+2\end{array}\cdots (\ast )$$

というように $t$ を用いて表せる．先に挙げた $C$ 上の3点はそれぞれ $t=-2,-1,0$ における値である．つまり $(\ast )$ でも同じ曲線を表すことができるのである．

　このように，曲線上の点 $(x,y)$ が， 文字 $t$ を用いて表されるとき，これを媒介変数を $t$ とする曲線の媒介変数表示，あるいはパラメータを $t$ とする曲線のパラメータ表示という．

　上にあげた $(\ast )$ は曲線 $C$ のパラメータ表示の一例であって，同じ曲線を表すパラメータ表示の仕方は無数にある．極端な例として

$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2-3t+2\end{array}$$

も一応曲線のパラメータ表示である．

　さて，$(\ast )$ で $x$ の式を $t$ について解き， $x$ と $y$ の順序を入れ替えて

$$\{\begin{array}{l}y=t^2+2\\ t=x-1\end{array}$$

と表すと，関数 $y=x^2-2x+3$ はこの2つの関数の合成関数とみなすことができる．このとき，${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=2t$，${\displaystyle \frac{dt}{dx}}=1$ であるから，合成関数の導関数の公式により

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=2t\cdot 1=2t=2(x-1)$$

となる．当然ながらこの結果は

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2-2x+3)=2x-2$$

と一致する．

　もう少し違う例を見てみよう．

$$\{\begin{array}{l}x=t^3+t^2+t\\ y=t^2\end{array}$$

　これだと $t$ を $x$ の式で表すのは容易ではないから $y=(x$ の式) の形で表すことは極めて困難である．従って ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を従来通り「 $x$ の式を微分する」という方法で求めることはできそうにない．しかし今 $t=(x$ の式) というように表せたとして，$x$ の関数 $y$ を

$$\{\begin{array}{l}y=t^2\\ t=(x\text{の式})\end{array}$$

の合成関数とみなそう．合成関数の導関数により

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=2t\cdot \frac{dt}{dx}$$

　${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ の方は $2t$ として解決だが， ${\displaystyle \frac{dt}{dx}}$ の方は $t$ が $x$ の関数として表せないのだから，計算できない．しかし，逆関数の微分法により

$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}=\frac{1}{3t^2+2t+1}$$

とできるから，結局

$$\frac{dy}{dx}=2t\cdot \frac{1}{3t^2+2t+1}=\frac{2t}{3t^2+2t+1}$$

となり，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求めることができた．ただし，これまで ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ といえば $x$ の式であったが，今回のケースではその表現は望めない．しかし　$x$ や $y$ の値から $t$ の値を決めることができるならば，微分係数を上の式から計算することができるのである．

　一般に，曲線上の点 $(x,y)$ が媒介変数(パラメータ) $t$ を用いて $$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}(\alpha \leqq t\leqq \beta )$$ のように表されているとき，

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}(\because \text{合成関数の導関数})\\ & =\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}(\because \text{逆関数の微分法})\\ & =\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}\\ & =\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}\end{array}$$

と表されるのである．

例題　$x$ の関数 $y$ が，$\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t^2\end{array}$ で表されるとき，$x=3$ における微分係数を求めよ．

　解答例を表示する >

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{1}=2t[=2(x-1)]$$ 　$x=3$ のとき，$t=2$ であるから， $${\frac{dy}{dx}|}_{x=3}=2\cdot 2=\underset{―}{4}$$

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