高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

  スライド ノート 問題
1. 微分係数と導関数 [無料]    
2. 合成関数の導関数 [無料]    
3. 逆関数の微分法 [無料]    
4. 三角関数の導関数      
5. 対数関数・指数関数の導関数      
6. 媒介変数表示と導関数      
7. 陰関数の導関数      
8. 平均値の定理      
9. 関数の値の変化      
10. 関数の極大・極小      
11. 関数のグラフ      

演習問題

問題１【標準】
　$p<q$ は実数の定数で， $0<p<1$， $q>0$ を満たすとする．関数\[f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})\]を考える．$p<q$ であるとき，$c=f(c)$，$0<c<1$ を満たす実数 $c$ が存在することを示せ．

問題２【標準】
　$a$ を実数とし，$x>0$ で定義された関数 $f(x)$，$g(x)$ を次のように定める．\[f(x)=\dfrac{\cos x}x,\ \ g(x)=\sin x+ax\]　このとき $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフが $x>0$ において共有点をちょうど3つもつような $a$ をすべて求めよ．

(東京大)

問題１【標準】

　$p<q$ は実数の定数で， $0<p<1$， $q>0$ を満たすとする．関数\[f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})\]を考える．$p<q$ であるとき，$c=f(c)$，$0<c<1$ を満たす実数 $c$ が存在することを示せ．

東京大学(2014)の過去問で，原題は(1)～(3)までありましたが，これはその(3)です．

解答

　$g(x)=f(x)-x$ とおくと，

\[\begin{align*}
&g(0)=(1-p)\cdot0+(1-0)(1-e^0)-0=0\\[5pt]
&g(1)=(1-p)\cdot1+(1-1)(1-e^{-q})-1=-p<0 \end{align*}\]

　また