3．2次関数の最大・最小【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

基礎から応用・発展まで幅広く問題を取り揃えました．最後の問題12だけは考えにくい難問で，東大に合格するような人の中でも解けるのは3人に1人もいないのではないでしょうか．

問題１【基本】
　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1)　$y=x^2-4x+5$　(2)　$y=-2x^2+4x$

問題２【基本】
　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1)　$y=x^2-4x+5$　$(0\leqq x\leqq 1)$
(2)　$y=-2x^2+4x$　$(-1<x\leqq 2)$

問題３【標準】
　$a$ は正の定数とする．$0\leqq x\leqq a$ における関数 $f(x)=x^2-2x$ について，次の問いに答えよ．
(1)　最小値及び最小値をとるときの $x$ の値を求めよ．
(2)　最大値及び最大値をとるときの $x$ の値を求めよ．

問題４【標準】
　$a$ は定数とする．$0\leqq x\leqq 2$ における関数 $f(x)=x^2-2ax$ について，次の問いに答えよ．
(1)　最小値及び最小値をとるときの $x$ の値を求めよ．
(2)　最大値及び最大値をとるときの $x$ の値を求めよ．

問題５【標準】
　$a$ は定数とする．$a\leqq x\leqq a+2$ における関数 $f(x)=x^2-2x$ について，次の問いに答えよ．
(1)　最小値及び最小値をとるときの $x$ の値を求めよ．
(2)　最大値及び最大値をとるときの $x$ の値を求めよ．

問題６【標準】
　$k$ は定数とする．$x$ の2次関数 $y=x^2-4kx+3k^2+4k+7$ の最小値を $m$ とする．
(1)　$m$ を $k$ の式で表せ．
(2)　$m$ の最大値と，最大をとるときの $k$ の値を求めよ．

問題７【標準】
　関数 $f(x)=x^2-2kx+k^2+2k(0\leqq x\leqq 2)$ の最小値が3となるような定数 $k$ の値を求めよ．

問題８【標準】
　関数 $f(x)=a{x}^2-2ax+b(0\leqq x\leqq 2)$ の最大値が7，最小値が2となるとき，定数 $a,b$ の値を求めよ．

問題９【発展】
　$x\geqq 0,y\geqq 0,x+y=2$ のとき，$xy$ の最大値と最小値を求めよ．また，最大値・最小値をとるときの $x,y$ の値もあわせて求めよ．

問題10【発展】
　$x,y$ の関数 $P=x^2-2xy+2y^2-2x-2y+6$ の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの $x,y$ の値もあわせて求めよ．

問題11【発展】
(1)　関数 $y=x^2-2x(0\leqq x\leqq 3)$ の最大値，最小値を求めよ．
(2)　関数 $(x^2-2x{)}^2-2(x^2-2x)+5$ $(0\leqq x\leqq 3)$ の最大値と最小値を求めよ．

問題12【難】
　関数 $f(x)=|x^2+ax+b|$ $(-1\leqq x\leqq 1)$ の最大値は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 以上であることを示せ．