すぐ上の[3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか？

Q: すぐ上の[3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか？

必要ない． どうしてかといえば，\[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\]\[(\mbox{ただし，}D=b^2-4ac)\]であり，$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが，\[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\]となり，$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が従うからである．最小値でないところに負の値があるならば，それより小さな値である最小値が負となるのは当然であろう．下に凸な放物線をイメージすれば，どこか1か所でも負になる，すなわち $x$ 軸の下側に潜り込んでいるならば，その放物線は $x$ 軸と異なる2点で交わっているわけで，「＝0」とおいた2次方程式が異なる2つの実数解をもつことは明らかである．

必要ない．どうしてかといえば，\[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\]\[(\mbox{ただし，}D=b^2-4ac)\]であり，$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが，\[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\]となり，$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が従うからである．最小値でないところに負の値があるならば，それより小さな値である最小値が負となるのは当然であろう．下に凸な放物線をイメージすれば，どこか1か所でも負になる，すなわち $x$ 軸の下側に潜り込んでいるならば，その放物線は $x$ 軸と異なる2点で交わっているわけで，「＝0」とおいた2次方程式が異なる2つの実数解をもつことは明らかである．

2次方程式の解の配置｜グラフで理解する条件整理と場合分けをスライドでやさしく解説 | 高校数学

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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

	スライド	ノート	問題
1. 2次関数のグラフ	[無料]
2. 関数のグラフの移動
3. 2次関数の最大・最小
4. 2次関数の決定
5. 2次関数のグラフと方程式
6. 2次不等式とグラフ
7. 2次方程式の解の配置

7.　2次方程式の解の配置

7.1　2次方程式の解の配置

方程式の解の配置は目で考えるのが基本

　2次方程式の解について，例えば「2つの解がともに正であるための条件」とか，「一方は正で他方は負であるための条件」といったように，方程式の解の性質について問う問題は，しばしば「方程式の解の配置問題」と呼ばれる．こういった問題を考える上での最良の方策は

解を目で捉える

ことである．

方程式の解を目で捉えるとは一体どういうことか？

　2次関数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ を例にとろう．このグラフの $x$ 切片，すなわち $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は何であろうか？
　 $x$ 軸とは $y$ 座標が0である点の集合である．従って関数の $y$ を0とおくと， $0 = x^{2} - 4 x + 3$ 即ち

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

を $x$ は満たす．これを解くと

$(x - 1) (x - 3) = 0 ∴ x = 1, 3$

　従って $x$ 切片は1と3であることがわかった．
　グラフは次のようである：

方程式の実数解と $x$ 切片は完全に対応している

　私たちが上の操作でやったことは何だったのだろうか？それは2次関数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ のグラフの $x$ 切片を知るのに

2次方程式 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ を解いた

のである．そしてこれは逆に考えることもできて，2次方程式 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ の実数解が知りたければ

2次関数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ のグラフの $x$ 切片を見ればよい

のである．このように2次方程式の実数解と2次関数のグラフの $x$ 切片は完全に対応しているのであって，従って2次方程式の実数解の配置を考えるには，2次関数のグラフの $x$ 切片がどうなっているかを考えればよいのである．これが

解を目で捉える

の正体である．例えば両方の解が正であるという条件は，グラフが $x$ 軸の正の部分と2点で交わる条件を求めればよい．このような同値な言いかえによって，視覚的に捉えていくことが肝要である．

7.2　いくつかの例

　2次方程式の2解について，様々な設定下での条件を考えていこう．

[1]　ともに $p$ より大きい

例題　2次方程式 $x^{2} - 2 m x - m + 2 = 0$ の重解を含む2つの解が，ともに正であるように，定数 $m$ の値の範囲を定めよ．

考え方

　一般に，2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の2つの解が，ともに $p$ より大きいとき，左辺を $f (x)$ とおいた2次関数 $y = f (x)$ のグラフは次のようになっているはずである．

　誰もがこのようなグラフを描くためには，次の3条件を課せばよい：
　　　　①　 $D ≧ 0$
　　　　②　(軸) $> p$
　　　　③　 $f (p) > 0$

補足

　上の3条件のどれ1つとして欠けてはならない．実際に次の図からそれを確かめておこう．

①の $D ≧ 0$ だけを満たさない

②の (軸) $> p$ だけを満たさない

③の $f (p) > 0$ だけを満たさない

こたえ

　2次方程式の左辺を $f (x)$ とおくと，

$f (x) = (x - m)^{2} - m^{2} - m + 2$

と変形できるから，グラフは軸が直線 $x = m$ で，下に凸な放物線である．与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると，2解がともに正，すなわち $x > 0$ であるためには次の3つの条件がすべて必要である．

① $D ≧ 0$ 　② (軸) $> 0$ 　③ $f (0) > 0$

　これらの条件はそれぞれ次のようになる

①

$\begin{aligned} D / 4 = (- m)^{2} - (- m + 2) & ≧ 0 \\ m^{2} + m - 2 & ≧ 0 \\ (m + 2) (m - 1) & ≧ 0 \end{aligned}$

$∴ m ≦ - 2, 1 ≦ m$

②　 $m > 0$

③　 $f (0) = - m + 2 > 0 ∴ m < 2$

　① かつ ② かつ ③ より，これら3つの条件の共通範囲を求める．

　答えは　 $1 ≦ m < 2$

[2]　ともに $p$ より大きく $q$ 未満

例題　2次方程式 $x^{2} - 4 m x - 3 m + 1 = 0$ が， $0$ と $2$ の間に異なる2つの実数解をもつように，定数 $m$ の値の範囲を定めよ．

考え方

　一般に，2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の2つの解が，ともに $p$ より大きく， $q$ より小さいとき，左辺を $f (x)$ とおいた2次関数 $y = f (x)$ のグラフは次のようになっているはずである．

　誰もがこのようなグラフを描くためには，次の4条件を課せばよい：

①　 $D ≧ 0$
②　 $p <$ (軸) $< q$
③　 $f (p) > 0$
④　 $f (q) > 0$

こたえ

　2次方程式の左辺を $f (x)$ とおくと，

$f (x) = (x - 2 m)^{2} - 4 m^{2} + 3 m + 1$

と変形できるから，グラフは軸が直線 $x = 2 m$ で，下に凸な放物線である．与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると，異なる2つの解がともに $0$ より大きく， $2$ より小さくなるためには次の4つの条件がすべて必要で，どれ一つとして欠くことができない．

① $D > 0$ 　② $0 <$ (軸) $< 2$ 　③ $f (0) > 0$ 　④ $f (2) > 0$

　これらの条件はそれぞれ次のようになる

①

$\begin{aligned} D / 4 = (- 2 m)^{2} - (- 3 m + 1) & > 0 \\ 4 m^{2} + 3 m - 1 & > 0 \\ (m + 1) (4 m - 1) & > 0 \end{aligned}$

$∴ m < - 1, \frac{1}{4} < m$

②　 $0 < 2 m < 2$ 　 $∴ 0 < m < 1$

③　 $- 3 m + 1 > 0$ 　 $∴ m < \frac{1}{3}$

④　 $2^{2} - 4 m \cdot 2 - 3 m + 1 > 0$ 　 $∴ m < \frac{5}{11}$

　① かつ ② かつ ③ かつ ④ より，これら4つの条件の共通範囲を求める．

　答えは　 $\frac{1}{4} < m < \frac{1}{3}$

[3]　一方が $p$ より小さく，他方が $p$ より大きい

例題　2次方程式 $2 x^{2} + 5 m x + m^{2} - 6 m - 4 = 0$ が，1より大きい解と，1より小さい解の2つをもつとき，定数 $a$ の値の範囲を定めよ．

考え方

　一般に，2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の2つの解の一方が $p$ より小さく，他方が $p$ より大きいとき，左辺を $f (x)$ とおいた2次関数 $y = f (x)$ のグラフは次のようになっているはずである．

　誰もがこのようなグラフを描くためには，次のたった1つの条件を課せばよい：
　　　　①　 $f (p) < 0$

こたえ

　2次方程式の左辺を $f (x)$ とおくと，題意の条件は $f (1) < 0$ のみである．

$\begin{array}{r} f (1) = 2 \cdot 1^{2} + 5 m \cdot 1 + m^{2} - 6 m - 4 < 0 \\ m^{2} - m - 2 < 0 \\ (m + 1) (m - 2) < 0 \end{array}$

　答えは　 $- 1 < m < 2$

よくある質問

すぐ上の[3]で $D > 0$ の条件は必要ないのですか？

必要ない．

　どうしてかといえば，

$f (x) = a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{D}{4 a}$

$(ただし， D = b^{2} - 4 a c)$

であり， $a > 0$ に注意すると $f (x)$ の最小値は $- \frac{D}{4 a}$ となるが，

$\begin{aligned} f (p) < 0 & \Rightarrow f (x) の最小値 < 0 \\ \Rightarrow - \frac{D}{4 a} < 0 \\ \Rightarrow D > 0 (∵ a > 0) \end{aligned}$

となり， $f (p) < 0$ から自然に $D > 0$ が従うからである．最小値でないところに負の値があるならば，それより小さな値である最小値が負となるのは当然であろう．下に凸な放物線をイメージすれば，どこか1か所でも負になる，すなわち $x$ 軸の下側に潜り込んでいるならば，その放物線は $x$ 軸と異なる2点で交わっているわけで，「＝0」とおいた2次方程式が異なる2つの実数解をもつことは明らかである．

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2. 関数のグラフの移動
3. 2次関数の最大・最小
4. 2次関数の決定
5. 2次関数のグラフと方程式
6. 2次不等式とグラフ
7. 2次方程式の解の配置

2次方程式の解の配置｜グラフで理解する条件整理と場合分けをスライドでやさしく解説

7. 2次方程式の解の配置

7.1 2次方程式の解の配置

方程式の解の配置は目で考えるのが基本

方程式の解を目で捉えるとは一体どういうことか？

方程式の実数解と x 切片は完全に対応している

7.2 いくつかの例

[1] ともに p より大きい

考え方

補足

こたえ

[2] ともに p より大きく q 未満

考え方

こたえ

[3] 一方が p より小さく，他方が p より大きい

考え方

こたえ