3. 順列【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

	スライド	ノート	問題
1. 集合
2. 場合の数
3. 順列
4. 円順列・重複順列
5. 組合せ
6. 二項定理

3．順列

3.1　順列

　異なる $n$ 個のものから $r$ 個選び，それらを1列に並べる順列の総数は，

　先頭の選び方が $n$ 通り
　2番目の選び方が $(n-1)$ 通り
　3番目の選び方が $(n-2)$ 通り
　　$⋮$
　$r$ 番目の選び方が $(n-r+1)$ 通り

となるから，

$n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times (n-r+1)$ 通り

である．この式を

$${}_n{\mathrm{P}}_r$$

と記号化する：

順列$${}_n{\text{P}}_r=n(n-1)(n-2)\times \cdots \times (n-r+1)$$

補足

「P」は英語で順列を意味する Permutation の頭文字である．

例題　1,2,3,4から異なる2つを選んで1列に並べる方法は何通りあるか．

こたえ

${}_4{\mathrm{P}}_2=4\times 3=12$ 通り

補足

　樹形図を見れば，求める順列の総数を $4\times 3$ で数えられることがよくわかる．すなわち最初の枝が4本，そのどの枝からも3本ずつ枝が出ているから，最後の枝は12本ある．

3.2　階乗

　${}_n{\mathrm{P}}_r$ において，特に $r=n$ のとき，すなわち異なる $n$ 個のものを1列に並べる順列の総数は， $${}_n{\mathrm{P}}_n=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$$ である．右辺を $\mathit{n}$ の階乗といい， $$n!$$ で表す．また， $n=0$ の場合は特別に$$0!=1$$ と定める(定義する)．

階乗 $$n!=n(n-1)(n-2)\times \cdots \times 2\cdot 1$$ 　　特に， $$0!=1$$

例題　1,2,3 の3つの数を1列に並べて得られる3桁の数は何個あるか．

こたえ

$3!=3\times 2\times 1=6$ 個

補足

　最初の枝が3本，そのそれぞれから2本ずつ，そして更にその枝から1本ずつ出ている．

${}_n$P${}_r$ を階乗で表す

$$\begin{array}{rl}{}_n{\mathrm{P}}_r& =n(n-1)\times \cdots \times (n-r+1)\\ & =\frac{n(n-1)\times \cdots \times (n-r+1)\cdot \mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{-}\mathit{r}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{\cdots }\mathbf{\times }\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{1}}{\mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{-}\mathit{r}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{\cdots }\mathbf{\times }\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{1}}\\ & =\frac{n!}{(n-r)!}\end{array}$$ $$\therefore {}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$ 　この式が $r=0$ でも成り立つように， $${}_n{\mathrm{P}}_0=1$$ と定める．

順列 $${}_n{\text{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$ 　　特に， $${}_n{\text{P}}_0=1$$

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