垂線の長さ【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

1．成分が与えられているとき

Q.　空間内の 4 点 A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 2,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 3)$，D$(1,\ 2,\ 3)$ について，点 D から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とするとき，DH の長さを求めなさい．

　この問題に対する以下の5つの解法を順に説明します:

お手軽さの順は，軽い方から概ね
$$3^\circ,\ 5^\circ > 4^\circ \gg 1^\circ,\ 2^\circ$$
です．

$1^\circ$ $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}\!= \!r\overrightarrow {\mathstrut{\rm{DA}}} \!+ \!s\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DB}}} \!+ \!t\overrightarrow {\mathstrut{\rm{DC}}}$ , $r\!+\!s\!+\!t\!=\!1$とおく

　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}=r\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}}+s\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DB}}}+t\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DC}}},\ r+s+t=1\cdots①$ とおきます.
　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}}=(0,-2,-3),\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DB}}}=(-1,0,-3),\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DC}}}=(-1,-2,0)$ ですから，

$$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}&=r(0,\ -2,\ -3)+s(-1,\ 0,\ -3)+t(-1,\ -2,\ 0)\\[5pt] &=(-s-t, -2r-2t, -3r-3s) \end{align*}$$

です．$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}\perp\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AB}}}$ かつ $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}\perp\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AC}}}$
により，

$$\begin{align*} &(-s-t, -2r-2t, -3r-3s)\cdot(-1,\ 2,\ 0)=0\cdots\mbox{②}\\[5pt] &(-s-t, -2r-2t, -3r-3s)\cdot(-1,\ 0,\ 3)=0\cdots\mbox{③} \end{align*}$$

　①～③ より　$r=-\dfrac{23}{49},\ s=\dfrac{31}{49},\ t=\dfrac{41}{49}$．
　従って $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}=-\dfrac{12}{49}(6,\ 3,\ 2)$ となりますから，

$${\rm DH}=\left|-\frac{12}{49}\right|\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\bf{\frac{12}7}$$

$2^\circ$ $\overrightarrow {\mathstrut{\rm{DH}}}\!= \!\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}} \!+ \!s\overrightarrow {\mathstrut{\rm{AB}}} \!+ \!t\overrightarrow {\mathstrut{\rm{AC}}}$ とおく

　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}}+s\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AB}}}+t\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AC}}}$ とおきます．
　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}}=(0,-2,-3),\ \overrightarrow{\mathstrut{\rm{AB}}}=(-1,2,0),\ \overrightarrow{\mathstrut{\rm{AC}}}=(-1,0,3)$ ですから，
$$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}&=(0,\ -2,\ -3)+s(-1,\ 2,\ 0)+t(-1,\ 0,\ 3)\\[5pt] &=(-s-t,\ -2+2s,\ -3+3t) \end{align*}$$
です．　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}\perp\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AB}}}$ かつ $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}\perp\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AC}}}$ により，
$$\begin{align*} &(-s-t,\ -2+2s,\ -3+3t)\cdot(-1,\ 2,\ 0)=0\cdots\mbox{①}\\[5pt] &(-s-t,\ -2+2s,\ -3+3t)\cdot(-1,\ 0,\ 3)=0\cdots\mbox{②} \end{align*}$$
　①，②より　$s=\dfrac{31}{49},\ t=\dfrac{41}{49}$．
　従って $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}=-\dfrac{12}{49}(6,\ 3,\ 2)$ となりますから，
$${\rm DH}=\left|-\frac{12}{49}\right|\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\bf{\frac{12}7}$$

補足

　上の解答のようにして $s$ と $t$ を求めておいたのち，$\overrightarrow{\rm{DH}}$ の大きさを求める際には次のようにしてもよいでしょう：

$$\begin{align*} |\overrightarrow{\rm{DH}}|^2&=\overrightarrow{\rm{DH}}\cdot\overrightarrow{\rm{DH}}\\[5pt] &=\overrightarrow{\rm{DH}}\cdot\bigl(\overrightarrow{\rm{DA}}+\frac{31}{49}\overrightarrow{\rm{AB}}+\frac{41}{49}\overrightarrow{\rm{AC}}\bigr)\\[5pt] &=\overrightarrow{\rm{DH}}\cdot\overrightarrow{\rm{DA}}\ \ (\because \overrightarrow{\rm{DH}}\perp\overrightarrow{\rm{AB}},\ \overrightarrow{\rm{DH}}\perp\overrightarrow{\rm{AC}})\\[5pt] &=-\frac{12}{49}(6,\ 3,\ 2)\cdot(0,\ -2,\ -3)\\[5pt] &=\frac{12^2}{49}\\[8pt] \therefore |\overrightarrow{\rm{DH}}|&={\bf \frac{12}7} \end{align*}$$

　この $\overrightarrow{\rm{DH}}$ の一方だけを残して計算するという方法は，ベクトルの成分が与えられていない場合に極めて有効です．

$3^\circ$ 正射影ベクトルの利用

　$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AB}}}$ と $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{AC}}}$ の双方に垂直なベクトルの 1 つとして
$\overrightarrow{\mathstrut{n}}=(6,\ 3,\ 2)$ がとれます．実際，

$$\begin{align*} \overrightarrow{\rm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{n}}&=(-1,\ 2,\ 0)\cdot(6,\ 3,\ 2)\\[5pt] &=-6+6+0=0\\[5pt] \overrightarrow{\rm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{n}}&=(-1,\ 0,\ 3)\cdot(6,\ 3,\ 2)\\[5pt] &=-6+0+6=0\\[5pt] \end{align*}$$

です．$\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DH}}}$ は(例えば) $\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DA}}}$ の $\overrightarrow{\mathstrut{n}}$ への正射影ベクトルですから，