極座標表示における扇形分割積分【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理
2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

1．扇形分割の積分公式

証明

　図の斜線部分の面積を $S(\theta)$ とします．$\theta$ が微小量 $\Delta\theta(>0)$ だけ変化したときの面積の変化量は，$\theta$ から $\theta+\Delta\theta$ までの $r$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,m$ とすると $$\frac 12m^2\Delta\theta\leqq S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)\leqq \frac 12M^2\Delta\theta.$$

となります．正の数 $\Delta \theta$ で各辺を割ると $$\frac 12m^2\leqq \frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}\leqq \frac 12M^2.$$ 　ここで $\Delta\theta\to +0$ とすると，$M\to r,\ m\to r$ となりますから，はさみうちの原理により

となります．$\Delta\theta < 0$のときも同様ですから結局

です．ところで，中辺において $\Delta \theta\to 0$とした式 $$\lim_{\theta\to0}\frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}$$ は，$S'(\theta)$ の定義式に他なりません．つまり， $$S'(\theta)=\frac 12r^2$$ であることがわかりました．従って求める面積は， $$\begin{align*} S(\beta)-S(\alpha)&=\Bigl[S(\theta)\Bigr]_\alpha^\beta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!S'(\theta)\,d\theta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!\frac 12r^2\,d\theta. \end{align*}$$

2．応用例

　扇形分割の積分公式を使って面積を求めてみましょう．この公式が使えるケースは

• 極方程式として $r=f(\theta)$ が与えられている場合
• 点$(x,y)$ が $r=f(\theta)$ として $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と書ける，即ち $$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)$$ と極座標表示できる場合

です．

解法の指針

　$f(\theta)=e^{-\theta}$ として，$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)$ と表すことができますから，扇形分割の積分公式が使えます．

答

$$r^2=e^{-2\theta}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=e^{-2\theta}$$ となりますから， $$\begin{align*} S&=\int_0^\pi\!\frac12 e^{-2\theta}\,d\theta\\[5pt] &=\Bigl[-\frac14e^{-2\theta}\Bigr]_0^\pi\\[5pt] &=\boldsymbol{\frac{1-e^{-2\pi}}4}\ \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

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2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル