数学A　場合の数
1．集合【演習問題】

数学A　第1章　場合の数

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1. 集合
2. 場合の数
3. 順列
4. 円順列・重複順列
5. 組合せ
6. 二項定理

演習問題

問題１【基本】
(1) 1から10までの偶数の集合を，列挙法と条件指定法の両方で表せ．
(2) $B=\{x\ |\ x$ は3の倍数, $1\leqq x\leqq 15\}$ を列挙法で表せ．

問題２【基本】
集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ について，次の各数が $A$ の要素かどうかを答えよ．
(1) $3$ 　(2) $7$ 　(3) $0$

問題３【基本】
$A=\{1,2,3,4,5\}$ , $B=\{2,4\}$ , $C=\{2,3,4,5\}$ のとき，次の問いに答えよ．
(1) $B$ は $A$ の部分集合かどうかを答えよ．
(2) $C$ は $A$ の部分集合かどうかを答えよ．
(3) $A$ は $C$ の部分集合かどうかを答えよ．

問題４【基本】
$D=\{1,2,3,4\}$ , $E=\{3,4,5,6\}$ のとき，次の問いに答えよ．
(1) $D$ と $E$ の共通部分（ $D\cap E$ ）を求めよ．
(2) $D$ と $E$ の和集合（ $D\cup E$ ）を求めよ．

問題５【基本】
$F=\{x, y\}$ のすべての部分集合を列挙せよ．

問題６【基本】
$A$ と $B$ がそれぞれ $n(A)=7$ , $n(B)=9$ , $n(A\cap B)=3$ のとき、 $n(A\cup B)$ を求めよ．

問題７【基本】
全体集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $A=\{2,4,6\}$ のとき， $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めよ．

問題８【基本】
$A=\{1,2,3\}$ , $B=\{3,4,5\}$ , 全体集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$ のとき， $\overline{A\cup B}$ と $\overline{A}\cap\overline{B}$ を求め，等しいことを確認せよ．

問題１【基本】

(1) 1から10までの偶数の集合を，列挙法と条件指定法の両方で表せ．
(2) $B=\{x\ |\ x$ は3の倍数, $1\leqq x\leqq 15\}$ を列挙法で表せ．

解答

(1)

列挙法： $\{2,4,6,8,10\}$

条件指定法：
　　例1　 $\{x\ |\ x$ は偶数, $1\leqq x\leqq 10\}$
　　例2　 $\{2n\ |\ n$ は自然数, $1\leqq n\leqq 5\}$

(2) $B=\{3,6,9,12,15\}$

問題２【基本】

集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ について，次の各数が $A$ の要素かどうかを答えよ．
(1) $3$ 　(2) $7$ 　(3) $0$

解答

(1) $3 \in A$ （要素である）
(2) $7 \notin A$ （要素でない）
(3) $0 \notin A$ （要素でない）

問題３【基本】

$A=\{1,2,3,4,5\}$ , $B=\{2,4\}$ , $C=\{2,3,4,5\}$ のとき，次の問いに答えよ．
(1) $B$ は $A$ の部分集合かどうかを答えよ．
(2) $C$ は $A$ の部分集合かどうかを答えよ．
(3) $A$ は $C$ の部分集合かどうかを答えよ．

解答

(1) $B=\{2,4\}$ は $A=\{1,2,3,4,5\}$ の部分集合である．
（ $B$ のすべての要素が $A$ に含まれる）

(2) $C=\{2,3,4,5\}$ も $A$ の部分集合である．
（ $C$ のすべての要素が $A$ に含まれる）

(3) $A$ は $C$ の部分集合ではない．
（ $A$ の要素1が $C$ に含まれていないため）

問題４【基本】

$D=\{1,2,3,4\}$ , $E=\{3,4,5,6\}$ のとき，次の問いに答えよ．
(1) $D$ と $E$ の共通部分（ $D\cap E$ ）を求めよ．
(2) $D$ と $E$ の和集合（ $D\cup E$ ）を求めよ．

解答

(1) $D\cap E=\{3,4\}$

(2) $D\cup E=\{1,2,3,4,5,6\}$

問題５【基本】

$F=\{x, y\}$ のすべての部分集合を列挙せよ．

解答

$F=\{x, y\}$ の部分集合は次の4個です：

$\varnothing$
$\{x\}$
$\{y\}$
$\{x, y\}$

問題６【基本】

$A$ と $B$ がそれぞれ $n(A)=7$ , $n(B)=9$ , $n(A\cap B)=3$ のとき、 $n(A\cup B)$ を求めよ．

解答

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=7+9-3=13$

問題７【基本】

全体集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $A=\{2,4,6\}$ のとき， $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めよ．

解答

$\overline{A}=\{1,3,5\}$

問題８【基本】

$A=\{1,2,3\}$ , $B=\{3,4,5\}$ , 全体集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$ のとき， $\overline{A\cup B}$ と $\overline{A}\cap\overline{B}$ を求め，等しいことを確認せよ．

解答

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$ なので， $\overline{A\cup B}=\varnothing$ ．

また， $\overline{A}=\{4,5\}$ ， $\overline{B}=\{1,2\}$ なので， $\overline{A}\cap\overline{B}=\varnothing$ ．

従って， $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ が成り立ちます．

数学A 場合の数1．集合【演習問題】