数学A　場合の数
6．二項定理【演習問題】

高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

	スライド	ノート	問題
1. 集合
2. 場合の数
3. 順列
4. 円順列・重複順列
5. 組合せ
6. 二項定理

演習問題

解答

$$\begin{align*} (a+b)^4 &= {}_4\mathrm{C}_0 a^4 + {}_4\mathrm{C}_1 a^3b + {}_4\mathrm{C}_2 a^2b^2 + {}_4\mathrm{C}_3 ab^3 + {}_4\mathrm{C}_4 b^4\\[5pt] &= 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4\\[5pt] &= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\[5pt] \end{align*}$$

解答

一般項は　${}_5\mathrm{C}_r (2x)^{5-r}(-3y)^r$
$x^3y^2$ の項は $5-r=3,\ r=2$ のときであるから，

$$\begin{align*} {}_5\mathrm{C}_2 (2x)^3(-3y)^2 &= 10 \times 8x^3 \times 9y^2\\[5pt] &= 10 \times 8 \times 9 x^3y^2\\[5pt] &= 720x^3y^2 \end{align*}$$

よって，係数は 720

答えは　720

解答

$(1+x)^6$ の $x^4$ の係数は
$${}_6\mathrm{C}_4 = {}_6\mathrm{C}_2 = 15$$

答えは　15

解答

(1)　$2^6 = 64$
(2)　$0$

解答

${}_8\mathrm{C}_2 = \dfrac{8\cdot7}{2\cdot1}=28$

$_8\mathrm{C}_6 = \dfrac{8\cdot7\cdot\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot3}}{\cancel{6\cdot5\cdot4\cdot3}\cdot2\cdot1}=28$

関係： 等しくなる．

解答

$_n\mathrm{C}_r = {}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_r$ において，$n=7$，$r=3$ とすると，

$$_7\mathrm{C}_3 = {}_6\mathrm{C}_2 + {}_6\mathrm{C}_3$$

が成り立ちます．$_6\mathrm{C}_2=15,\ _6\mathrm{C}_3=20$ ですから，
$$_7\mathrm{C}_3 =15+20=35$$

よって，$_7\mathrm{C}_3=35$