数学Ⅲ 微分係数と導関数(積の導関数・商の導関数)

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数と導関数	[無料]
2. 合成関数の導関数	[無料]
3. 逆関数の微分法	[無料]
4. 三角関数の導関数
5. 対数関数・指数関数の導関数
6. 媒介変数表示と導関数
7. 陰関数の導関数
8. 平均値の定理
9. 関数の値の変化
10. 関数の極大・極小
11. 関数のグラフ

1．微分係数と導関数

1.1 微分係数

　$a$ を固定し，$x\to a$ としたとき，平均変化率 $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdots$① が極限値をもつとき，$f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという．また，①を $f'(a)$ で表す：

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

補足

上の $x$ の代わりに $a+h$ とすれば，
$$\frac{f(x)-f(a)}{x–a}=\frac{f(a+h)-f(a)}h$$
と書くことができる．（分母が $h$ だけの方が，約分に気付きやすいことがある．）

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$$

例題　$f(x)=x^3$ のとき，$f'(1)$ を求めよ．

その1
$$\begin{align*} f'(1)&=\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\\[5pt] &=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\\[5pt] &=\lim_{x\to1}(x^2+x+1)\\[5pt] &=3 \end{align*}$$

その2
$$\begin{align*} f'(1)&=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^3-1^3}h\\[5pt] &=\lim_{h\to 0}\frac{h(3+3h+h^2)}h\\[5pt] &=\lim_{h\to 0}(3+3h+h^2)\\[5pt] &=3 \end{align*}$$

定理
$$f(x)\mbox{が}x=a\mbox{で微分可能}\Rightarrow f(x)\mbox{は}x=a\mbox{で連続}$$

証明

$$\begin{align*} \lim_{x\to a}\{f(x)-f(a)\}&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\\[5pt] &=f'(a)\cdot0\\[5pt] &=0 \end{align*}$$

■

注意

　逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない．反例として，$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続だが，$x=0$ で微分可能ではない．

1.2 導関数

　関数 $y=f(x)$ がある区間内の任意の $x$ で微分可能であるとき， $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$ を $f(x)$ の導関数といい， $$f'(x),\ y’\ ,\frac{dy}{dx},\ \frac d{dx}f(x)$$ などで表す．また，$f(x)$ の導関数を求めることを「 $f(x)$ を微分する」という．

1.3 導関数の性質

導関数の性質
$$\begin{align*}&[1]\ \ \{kf(x)\}’=kf'(x)\ \ (k\mbox{は定数})\\\\ &[2]\ \ \{f(x)+g(x)\}’=f'(x)+g'(x)\end{align*}$$

証明