関数のグラフ(凹凸、変曲点、漸近線の求め方、第2次導関数と極値)

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数と導関数	[無料]
2. 合成関数の導関数	[無料]
3. 逆関数の微分法	[無料]
4. 三角関数の導関数
5. 対数関数・指数関数の導関数
6. 媒介変数表示と導関数
7. 陰関数の導関数
8. 平均値の定理
9. 関数の値の変化
10. 関数の極大・極小
11. 関数のグラフ

11．関数のグラフ

11.1 曲線の凹凸

　微分可能な関数のグラフを考える．
　ある区間で，接線の傾きが増加しているとき，グラフはその区間で下に凸という．逆にその区間で接線の傾きが減少しているとき，グラフはその区間で上に凸という．

　例えばある区間で，$f'(x)$ の導関数である $f^{\prime\prime}(x)$ が常に正ならば，$f'(x)$ は単調に増加するから，$f(x)$ の接線の傾きは増加していく．即ち，その区間でグラフは下に凸である．ある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる場合も同様である．

まとめ　関数 $f(x)$ が $f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき，
　　常に $f^{\prime\prime}(x)\!>\!0$ である区間でグラフは下に凸である．
　　常に $f^{\prime\prime}(x)<\!0$ である区間でグラフは上に凸である．

11.2 変曲点

　曲線の凹凸の境目を変曲点という．

変曲点であるための必要条件

　第2次導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ をもつ関数 $f(x)$ について，グラフが $x=a$ を含むある区間において，$x=a$ で上に凸から下に凸に変わるとする．

　その区間内の $x<a$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0$，$x > a$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0$ だから，$f^{\prime\prime}(x)$ が連続ならば $f^{\prime\prime}(a)=0$
　$x=a$ で下に凸から上に凸に変わる場合も，同様の理由で $f^{\prime\prime}(a)=0$ となる．

定理　関数 $f(x)$ の第2次導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき，
$$\mbox{点}(a,\ f(a))\mbox{が変曲点}\ \ \Longrightarrow \ f^{\prime\prime}(a)=0$$

注意

　逆 $(\Leftarrow)$ はいえない．
(反例)
　$f(x)=x^4$ について，$f'(x)=4x^3$，$f^{\prime\prime}(x)=12x^2$ であるから，$f^{\prime\prime}(0)=0$．しかし，点$(0,f(0))$ は変曲点ではない．

11.3 漸近線の求め方

関数 $y=f(x)$ のグラフにおいて，

① $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，または$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$

　　→　直線 $y=a$ は漸近線．

② $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$，又は$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty$
又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$，又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$

　　→　直線 $x=a$ は漸近線．

③ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$，又は$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$

　　→　直線 $y=ax+b$ は漸近線．

補足

③について，$y=ax+b$ の $a$ と $b$ はどのようにしてわかるか？