高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 微分係数と導関数 | [無料] | ||
| 2. 合成関数の導関数 | [無料] | ||
| 3. 逆関数の微分法 | [無料] | ||
| 4. 三角関数の導関数 | |||
| 5. 対数関数・指数関数の導関数 | |||
| 6. 媒介変数表示と導関数 | |||
| 7. 陰関数の導関数 | |||
| 8. 平均値の定理 | |||
| 9. 関数の値の変化 | |||
| 10. 関数の極大・極小 | |||
| 11. 関数のグラフ |
5．対数関数・指数関数の導関数
5.1 自然対数の底 $e$
数列 $\{a_n\}$ を \[a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\] とすれば，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ は収束することが知られていて，
\[\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2.71828\cdots\]
となる：
重要な数列の極限
$n$ が自然数のとき， \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n=2.71828\cdots \]
補足
① 2.71828$\cdots$ は無理数で，この数を $e$ で表す．
② $x$ を実数として$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$ や $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$ も，同じく $e$ に収束することが知られている：
重要な関数の極限①
$x$ が実数のとき， \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e,\ \ \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e \]
③ 上の式で $\dfrac1x=h$ とおくと，$x\to\pm\infty$ のとき $h\to0$ であるから次が成り立つ：
重要な関数の極限②
\[ \lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac 1h}=e \]
大学入試ワンポイント
簡単には考えにくい関数の極限のいくつかで，上にあげた極限，及び三角関数を絡めた次の極限が突破口になることがあるのでまとめておく．
しばしば突破口になる関数の極限\[\begin{align*}
&[1]\ \ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\\[5pt]
&[2]\ \ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e\\[5pt]
&[3]\ \ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}=e
\end{align*}\]
5.2 対数関数の導関数
\[\begin{align*}
(\log_ax)’&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}\\[5pt]
&=\lim_{\Delta x\to0}\frac1{\Delta x}\log_a\frac{x+\Delta x}x\\[5pt]
&=\lim_{\Delta x\to0}\frac1{\Delta x}\log_a\left(1+\frac{\Delta x}x\right)\ \ \cdots\mbox{①}
\end{align*}\]
ここで $\dfrac{\Delta x}x=h$ とおくと，$\Delta x\to0$ のとき $h\to0$ であるから，
\[\begin{align*} \mbox{①}&=\lim_{h\to0}\frac1{xh}\log_a(1+h)\\[5pt] &=\frac1x\times\lim_{h\to 0}\log_a(1+h)^\frac1h\\[5pt] &=\frac1x\times\log_ae\\ &=\frac1{x\log_ea}\ \ (\because\mbox{底の変換公式}) \end{align*}\]
特に $a=e$ のとき， \[(\log_ex)’=\frac1{x\log_ee}=\frac1x\] $e$ を底とする対数を自然対数といい，微積分では対数といえば通常自然対数を指す．また，底 $e$ は省略され，$\log x$ と表す．
まとめ\[ (\log x)’=\frac 1x,\ \ \ \ \ (\log_ax)’=\frac
1{x\log a} \]