媒介変数表示と導関数

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数学Ⅲ　第2章　微分法

6．媒介変数表示と導関数

　例として $y=x^2-2x+3$ で表される曲線を $C$ とする．$C$ はおなじみ放物線である．この曲線上の点には

\[(-1,6),\ (0,3),\ (1,2) \]

などがある．ここで，$x$ が $t$ を用いて $x=t+1$ と表されているならば，曲線の式に代入すると $y$ は

\[y=(t+1)^2-2(t+1)+3=t^2+2\]

と表せる．すなわち曲線 $C$ 上の点が

\[\left\{\begin{array}{l}
x=t+1\\[5pt]
y=t^2+2
\end{array}\right.\ \ \cdots(*)\]

というように $t$ を用いて表せる．先に挙げた $C$ 上の3点はそれぞれ $t=-2,\ -1,\ 0$ における値である．つまり $(*)$ でも同じ曲線を表すことができるのである．

　このように，曲線上の点 $(x,y)$ が，文字 $t$ を用いて表されるとき，これを媒介変数を $t$ とする曲線の媒介変数表示，あるいはパラメータを $t$ とする曲線のパラメータ表示という．

　上にあげた $(*)$ は曲線 $C$ のパラメータ表示の一例であって，同じ曲線を表すパラメータ表示の仕方は無数にある．極端な例として

\[\left\{\begin{array}{l}
x=t\\[5pt]
y=t^2-3t+2
\end{array}\right.\]

も一応曲線のパラメータ表示である．

　さて，$(*)$ で $x$ の式を $t$ について解き， $x$ と $y$ の順序を入れ替えて

\[\left\{\begin{array}{l}
y=t^2+2\\[5pt]
t=x-1
\end{array}\right.\]