媒介変数表示と導関数

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数と導関数	[無料]
2. 合成関数の導関数	[無料]
3. 逆関数の微分法	[無料]
4. 三角関数の導関数
5. 対数関数・指数関数の導関数
6. 媒介変数表示と導関数
7. 陰関数の導関数
8. 平均値の定理
9. 関数の値の変化
10. 関数の極大・極小
11. 関数のグラフ

6．媒介変数表示と導関数

6.1 媒介変数表示と導関数

　例として $y=x^2-2x+3$ で表される曲線を $C$ とする．$C$ はおなじみ放物線である．この曲線上の点には

$$(-1,6),\ (0,3),\ (1,2)$$

などがある．ここで，$x$ が $t$ を用いて $x=t+1$ と表されているならば，曲線の式に代入すると $y$ は

$$y=(t+1)^2-2(t+1)+3=t^2+2$$

と表せる．すなわち曲線 $C$ 上の点が

$$\left\{\begin{array}{l} x=t+1\\[5pt] y=t^2+2 \end{array}\right.\ \ \cdots(*)$$

というように $t$ を用いて表せる．先に挙げた $C$ 上の3点はそれぞれ $t=-2,\ -1,\ 0$ における値である．つまり $(*)$ でも同じ曲線を表すことができるのである．

　このように，曲線上の点 $(x,y)$ が， 文字 $t$ を用いて表されるとき，これを媒介変数を $t$ とする曲線の媒介変数表示，あるいはパラメータを $t$ とする曲線のパラメータ表示という．

　上にあげた $(*)$ は曲線 $C$ のパラメータ表示の一例であって，同じ曲線を表すパラメータ表示の仕方は無数にある．極端な例として

$$\left\{\begin{array}{l} x=t\\[5pt] y=t^2-3t+2 \end{array}\right.$$

も一応曲線のパラメータ表示である．

　さて，$(*)$ で $x$ の式を $t$ について解き， $x$ と $y$ の順序を入れ替えて

$$\left\{\begin{array}{l} y=t^2+2\\[5pt] t=x-1 \end{array}\right.$$