陰関数の導関数(「y=」ではない関数の微分法)

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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

7．陰関数の導関数

7.1 陰関数の導関数

　例えば，関数 $y=2x^2+3x+4\ (\cdots$①) について，この式を変形すると $2x^2+3x-y+4=0\ (\cdots$②) と表せる．①のように $y=(x$ の式) の形を陽関数といい，②のように，$(x$ と $y$ の式)$=0$ の形を陰関数という．

　①において， $y$ を $x$ で微分すると

\[y’\left(=\frac{dy}{dx}\right)=4x+3\]

となるのはよいであろう．一方②のような形で与えられていて，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めようとすると，もちろん①のように $y$ について解いてから(陽関数にしてから)微分することもできるが，それをあとまわしにした次のようなやり方もある：

　②の両辺を $x$ で微分すると

\[4x+3-y’=0\]

\[\therefore y’=4x+3\]

　当然ながら同じ結果が得られた．$y=(x$ の式) とするのが先か，微分するのが先かの違いはあれど，結果としてはどちらも正しい導関数が得られるのである．つまり，この例を通して理解しておきたいのは，微分をするのに何も $y$ について解かれた式，すなわち $y=(x$ の式) となっていなければならないということはない，ということである．

$y=(x$ の式) となっていなくても微分はできる

　別の例として $x^2+y^2=1$ をみてみよう．おなじみ円の方程式である．これも $x$ の値が決まれば $y$ の値が決まるという意味で $y$ は $x$ の関数である．とはいうものの，これまで関数といえば $x$ の値に対して $y$ の値がただ1つ決まるものを関数(これを1価関数という)と呼んできたのであって，$x^2+y^2=1$ のように定義域のほぼ全域で1つの $x$ の値に対して $y$ の値が複数対応しているようなもの(これを多価関数という)は，これまでの意味での関数ではない．

　実際，$x^2+y^2=1$ を $y$ について解くと