高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

  スライド ノート 問題
1. 微分係数と導関数 [無料]    
2. 合成関数の導関数 [無料]    
3. 逆関数の微分法 [無料]    
4. 三角関数の導関数      
5. 対数関数・指数関数の導関数      
6. 媒介変数表示と導関数      
7. 陰関数の導関数      
8. 平均値の定理      
9. 関数の値の変化      
10. 関数の極大・極小      
11. 関数のグラフ      

演習問題

問題１【標準】
　𝑝 <𝑞 は実数の定数で， 0 <𝑝 <1， 𝑞 >0 を満たすとする．関数𝑓⁡(𝑥)=(1−𝑝)⁢𝑥+(1−𝑥)⁢(1−𝑒−𝑞⁢𝑥)を考える．𝑝 <𝑞 であるとき，𝑐 =𝑓⁡(𝑐)，0 <𝑐 <1 を満たす実数 𝑐 が存在することを示せ．

問題２【標準】
　𝑎 を実数とし，𝑥 >0 で定義された関数 𝑓⁡(𝑥)，𝑔⁡(𝑥) を次のように定める．𝑓⁡(𝑥)=cos⁡𝑥𝑥,  𝑔⁡(𝑥)=sin⁡𝑥+𝑎⁢𝑥　このとき 𝑦 =𝑓⁡(𝑥) のグラフと 𝑦 =𝑔⁡(𝑥) のグラフが 𝑥 >0 において共有点をちょうど3つもつような 𝑎 をすべて求めよ．

(東京大)

問題１【標準】

　𝑝 <𝑞 は実数の定数で， 0 <𝑝 <1， 𝑞 >0 を満たすとする．関数𝑓⁡(𝑥)=(1−𝑝)⁢𝑥+(1−𝑥)⁢(1−𝑒−𝑞⁢𝑥)を考える．𝑝 <𝑞 であるとき，𝑐 =𝑓⁡(𝑐)，0 <𝑐 <1 を満たす実数 𝑐 が存在することを示せ．

東京大学(2014)の過去問で，原題は(1)～(3)までありましたが，これはその(3)です．

解答

　𝑔⁡(𝑥) =𝑓⁡(𝑥) −𝑥 とおくと，

𝑔⁡(0)=(1−𝑝)⋅0+(1−0)⁢(1−𝑒0)−0=0𝑔⁡(1)=(1−𝑝)⋅1+(1−1)⁢(1−𝑒−𝑞)−1=−𝑝<0

　また