高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 座標平面上の点 | |||
| 2. 直線の方程式 | |||
| 3. 円の方程式 | |||
| 4. 円と直線 | |||
| 5. 軌跡と方程式 | |||
| 6. 不等式と領域 |
2．直線の方程式
2.1 直線の方程式
[1] 傾き $m$，$y$ 切片 $n$ の直線
\[y=mx+n\]
[2] 点A$(x_1,y_1)$ を通り，傾き $m$ の直線
求める直線 ：$y=mx+n\ \ \cdots$ ①
これがAを通る：$y_1=mx_1+n\ \ \cdots$ ②
① – ②より，$y-y_1=m(x-x_1)$
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
検証
$(x,y)=(x_1,y_1)$ は確かにこの式を満たす．また，この式を変形すると，
\[y=mx-mx_1+y_1\]
となり，$m$ と $-mx_1+y_1$ はともに定数であるから直線を表す．
[3] 2点A$(x_1,y_1)$，B$(x_2,y_2)$ を通る直線
$\underline{1^\circ\ \ x_1\neq x_2 \mbox{のとき}}$
傾き：$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
よって [2] より，
\[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\ \ \cdots(*)\]
補足
2点 A, B の位置関係は，次のいずれであっても上の式で表される．
また，$y_1=y_2$ のとき，直線は $x$ 軸に平行になるが，この場合も上の式で表すことができて，
\[y=y_1\]
$\underline{2^\circ\ \ x_1= x_2 \mbox{のとき}}$
直線は $x$ 軸に垂直であり，$(*)$ の式で表すことができない．このとき直線の方程式は，
\[x=x_1\]
まとめ
傾き $m$，$y$ 切片 $n$ の直線：\[y=mx+n\]
点$(x_1,y_1)$を通り，傾き$m$ の直線：\[y-y_1=m(x-x_1)\]
2点$(x_1,y_1),\ (x_2,y_2)$ を通る直線：
\[\begin{align*}
&x_1\neq x_2 \mbox{ のとき，}y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\\[5pt]
&x_1=x_2 \mbox{ のとき，}x=x_1
\end{align*}\]
補足
例えば $x=2$ とだけ書いたとき，それが
①変数 $x$ の値が2である
②直線 $x=2$ である
のどちらであるかは見た目から区別ができない．もっと言えば平面 $x=2$ とも区別がつかない．この点を明確にするには「直線 $x=2$ 」のように，式の前に図形の名前を明示すればよい．
例題 2点 $(1,1),\ (3,5)$ を通る直線の方程式を求めよ．
答
\[y-1=\frac{5-1}{3-1}(x-1)\ \ \therefore \underline{\boldsymbol{y=2x-1}}\]
別解
\[y-5=\frac{5-1}{3-1}(x-3)\ \ \therefore \underline{\boldsymbol{y=2x-1}}\]
補足
$a\neq0,b\neq0$ とする．2点 $(a,0)$，$(0,b)$ を通る直線の方程式は，
\[y=-\frac bax+b\]
\[\therefore \frac bax+y=b\]
両辺を $b$ で割って次を得る：
\[\frac xa+\frac yb=1\]
例題 2点 $(3,0),\ (0,2)$ を通る直線を求めよ．
答
\[\underline{\boldsymbol{\frac x3\!+\!\frac y2\!=\!1}}\ \left(y\!=\!-\frac 23 x\!+\!2\right)\]
直線の方程式の一般形
一般に，$x$ と $y$ の1次方程式
$ax+by+c=0\ \ \ \cdots$ ①
（ただし，$a\neq0$ または $b\neq0$)
のグラフは直線である．
逆に，直線の方程式はすべて①の形で表すことができる．
2.2 2直線の関係
[1] 平行条件
2直線 $y\!=\!m_1x\!+\!n_1\cdots$①，$y\!=\!m_2x\!+\!n_2\cdots$②について，\[\mbox{①}//\mbox{②}\iff m_1=m_2\]
例題 点 $(1,4)$ を通り，直線 $y=-2x+1$ に平行な直線を求めよ．
答 傾きが $-2$ で，点 $(1,4)$ を通る直線だから，
\[\begin{align*}
y-4&=-2(x-1)\\[5pt]
\therefore y&=-2x+6
\end{align*}\]
[2] 垂直条件
2直線 $y\!=\!m_1x\!+\!n_1\cdots$①，$y\!=\!m_2x\!+\!n_2\cdots$②について，\[\mbox{①}\perp\mbox{②}\iff m_1m_2=-1\]
証明
2直線①，②にそれぞれ平行な直線
$y=m_1x\ \ \cdots$ ①$’$，$y=m_2x\ \ \cdots$ ②$’$
が垂直に交わる場合を考えれば十分．
2直線①$’$，②$’$上で，$x$ 座標が1である点をそれぞれA，Bとすると，
\[\begin{align*}
&\mbox{①}’\perp\mbox{②}’\\[5pt]
\iff &\angle{\rm AOB}=90^\circ\\[5pt]
\iff &{\rm OA}^2+{\rm OB}^2={\rm AB}^2\ (\because\mbox{三平方の定理及びその逆})\\[5pt]
\iff &(1^2\!+\!{m_1}^2)\!+\!(1^2\!+\!{m_2}^2)\!=\!(m_1\!-\!m_2)^2\\[5pt]
\iff &m_1m_2=-1
\end{align*}\]
■
例題 直線 $y=2x+5$に垂直な直線の傾きを求めよ．
答
求める直線の傾きを $m$ とすると，
\[2\times m=-1\ \therefore \underline{\boldsymbol{m=-\frac12}}\]
発展的補足
2直線 $a_1x+b_1y+c_1=0\cdots$①，$a_2x+b_2y+c_2=0\cdots$②について，\[\begin{align*}\mbox{①}//\mbox{②}&\iff a_1b_2-a_2b_1=0\\
\mbox{①}\perp\mbox{②}&\iff a_1a_2+b_1b_2=0\end{align*}\]
証明
$b_1\neq0$ かつ $b_2\neq0$ の場合を示す．
①より $y=-\dfrac{a_1}{b_1}x-\dfrac{c_1}{b_1}$
②より $y=-\dfrac{a_2}{b_2}x-\dfrac{c_2}{b_2}$
よって，
\[\begin{align*}
\mbox{①}//\mbox{②}&\iff -\frac{a_1}{b_1}=-\frac{a_2}{b_2}\\[5pt]
&\iff a_1b_2-a_2b_1=0\\[5pt]
\mbox{①}\perp\mbox{②}&\iff -\frac{a_1}{b_1}\cdot\left(-\frac{a_2}{b_2}\right)=-1\\[5pt]
&\iff a_1a_2+b_1b_2=0
\end{align*}\]
■
※ 上の関係は，$b_1=0$ または $b_2=0$ のケースも含めて，ベクトルの内積を用いて示すのが簡潔．
[3] 一致条件
2直線 $a_1x+b_1y+c_1=0$，$a_2x+b_2y+c_2=0$ が一致する条件は，
\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{c_2}{c_1}\]
ただし，分子か分母の一方でも0のときは，他方も0．
注意
一致条件は，$a_1=a_2$，$b_1=b_2$，$c_1=c_2$ ではない．
例えば，$x+2y+3=0$ と $2x+4y+6=0$ は同じ直線を表す．
2.3 直線に関して対称な点
2点A，Bが，ある点に関して対称というのを既に学んだが，次にこれら2点が，ある直線に関して対称であるという状況を見ていこう．
2点A，Bがある直線 $l$ に関して対称というのは次の図のような状況を指す：
2点A，Bが直線 $l$ に関して対称
$\iff$ (直線AB) $\perp l$ かつ 線分ABの中点が $l$ 上
要するに2点A，Bが，対称の軸である直線 $l$ に関して対称の位置にあるということで，上の図を紙に写し取ったのちに直線 $l$ を折り線として折ると，AとBがぴったり重なるという状況である．
例題 直線 $l:y\!=\!2x\!-\!1$ に関して，点A$(0,4)$ と対称な点B$(p,q)$ を求めよ．
方針
直線に関する対称の定義にある2つの条件，即ち
① $l$⊥(直線AB) ② 線分ABの中点が $l$上
からBの座標を決定する．
答
$\underline{\boldsymbol{l\perp {\rm AB} :}}$
傾きの積が $-1$ より
$2\cdot\dfrac{q-4}{p-0}=-1\ \ \therefore p+2q=8\ \ \cdots$ ①
線分ABの中点が $l$ 上：
線分ABの中点の座標は $\left(\dfrac{0+p}2,\ \dfrac{4+q}2\right)$ であるから
$\dfrac{4+q}2=2\cdot\dfrac{0+p}2-1\ \ \therefore 2p-q=6\ \cdots$ ②
①，②より，$p=4,\ q=2$．
よって，$\underline{\boldsymbol{{\rm B}(4,\ 2)}}$
2.4 2直線の交点を通る直線
例題 $k$ を定数として， \[k(x\!-\!y\!-\!1)\!+\!x\!+\!2y\!-\!4\!=\!0\ \cdots(*)\] はどんな図形を表すか？
こたえ 2直線 $x\!-\!y\!-\!1\!=\!0$, $x\!+\!2y\!-\!4\!=\!0$ の交点を通る直線を表す．
検証
1° 直線を表すことについて
$(*)$を整理すると， \[(k\!+\!1)x\!+\!(-k\!+\!2)y\!+\!(-k\!+\!4)\!=\!0\] これは $a,b,c$ を定数として， \[ax+by+c=0\] の形をしている．
また，$x$ と $y$ の係数は同時には0にならない．
従って，$(*)$は直線を表す．
2° 2直線の交点を通ることについて