極座標表示における扇形分割積分【ノート】
1人で学べる！高校数学

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理
2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

1．扇形分割の積分公式

証明

　図の斜線部分の面積を $S(\theta )$ とします．$\theta$ が微小量 $\mathrm{\Delta }\theta (>0)$ だけ変化したときの面積の変化量は，$\theta$ から $\theta +\mathrm{\Delta }\theta$ までの $r$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,m$ とすると $$\frac{1}{2}{m}^2\mathrm{\Delta }\theta \leqq S(\theta +\mathrm{\Delta }\theta )-S(\theta )\leqq \frac{1}{2}{M}^2\mathrm{\Delta }\theta .$$

となります．正の数 $\mathrm{\Delta }\theta$ で各辺を割ると $$\frac{1}{2}{m}^2\leqq \frac{S(\theta +\mathrm{\Delta }\theta )-S(\theta )}{\mathrm{\Delta }\theta }\leqq \frac{1}{2}{M}^2.$$ 　ここで $\mathrm{\Delta }\theta \to +0$ とすると，$M\to r,m\to r$ となりますから，はさみうちの原理により

となります．$\mathrm{\Delta }\theta <0$のときも同様ですから結局

です．ところで，中辺において $\mathrm{\Delta }\theta \to 0$とした式 $$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{S(\theta +\mathrm{\Delta }\theta )-S(\theta )}{\mathrm{\Delta }\theta }$$ は，$S^{\prime }(\theta )$ の定義式に他なりません．つまり， $$S^{\prime }(\theta )=\frac{1}{2}{r}^2$$ であることがわかりました．従って求める面積は， $$\begin{array}{rl}S(\beta )-S(\alpha )& =[S(\theta ){]}_{\alpha }^{\beta }\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }{S}^{\prime }(\theta )d\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta .\end{array}$$

2．応用例

　扇形分割の積分公式を使って面積を求めてみましょう．この公式が使えるケースは

• 極方程式として $r=f(\theta )$ が与えられている場合
• 点$(x,y)$ が $r=f(\theta )$ として $(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ と書ける，即ち$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=f(\theta )\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$ と極座標表示できる場合

です．

解法の指針

　$f(\theta )=e^{-\theta }$ として，$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=f(\theta )\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$ と表すことができますから，扇形分割の積分公式が使えます．

答

$$r^2=e^{-2\theta }({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=e^{-2\theta }$$ となりますから， $$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{e}^{-2\theta }d\theta \\ & =[-\frac{1}{4}{e}^{-2\theta }{]}_0^{\pi }\\ & =\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{\pi }}}{\mathbf{4}}\cdots (\text{答})\end{array}$$

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2. バウムクーヘン分割
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
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6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル