高校数学[総目次]
高校数学ワンポイント
9．素因数分解の一意性
$1,2,3,\cdots$ を自然数といいます．このうち1と自分自身しか約数をもたない数を素数といいますが，1だけは素数に含みません．具体的には $2,3,5,7,\cdots$ という数で，素数は無限にあることが知られています．素数と1以外の自然数を合成数といいます．合成数を素因数の積に分解することを素因数分解といいます．例えば，
\[6=2\times3,\ 15=3\times5,\ 18=2\times3^2\]
等々．中学生，あるいは小学生の時から慣れ親しんでいるものでしょうが，次の問いはどうでしょう？
Q1. どんな合成数も素因数の積に分解できるのか？
Q2. できるとすれば，分解の仕方は1通りか？
Q1 は合成数の「分解の可能性」について，Q2 は「分解の一意性」についてですが，答えはどちらもYESです．では証明は？と聞かれたらどうでしょう．教科書でも見たことがありません．
以下，これらについて証明していきます．尚，本稿では数といえば自然数(1以上の整数)であるとします．
9.1 分解の可能性
定理 合成数は素数の積に分解できる．
証明
数学的帰納法で示します．
1° 1番小さい合成数4は $2\times2$ と素数の積に分解できます．
2° ある合成数を $n$ とし，$n$ より小さい合成数はすべて素数の積に分解できるとします．$n$ は合成数ですから，$n$ より小さな数 $a,b$ を用いて $n=ab$ と書き表すことができます．
$a$ と $b$ が共に素数であれば，$n$ はもはや素数の積に分解できています．
次に $a$ と $b$ の少なくとも一方が合成数の場合を考えます．$a$ が合成数としましょう．すると $a$ は $n$ より小さい数なので帰納法の仮定により，素数の積に分解できる数です．これは $b$ が合成数の場合でも同様です．
以上により分解可能性が証明されました。
■
9.2 分解の一意性
定理 合成数を素数の積に分解する方法は，素因数の順序を無視すれば1通りである．