高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 2次関数のグラフ | [無料] | ||
| 2. 関数のグラフの移動 | |||
| 3. 2次関数の最大・最小 | |||
| 4. 2次関数の決定 | |||
| 5. 2次関数のグラフと方程式 | |||
| 6. 2次不等式とグラフ | |||
| 7. 2次方程式の解の配置 |
5. 2次関数のグラフと方程式
5.1 2次関数と2次方程式
2次関数から2次方程式へ
例 2次関数 $y=x^2-4x+3$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標も求めよ．
$x$ 軸との共有点を問われているのであるから，2次関数 $y=x^2-4x+3$ のグラフがどうなっているかが気になる．
まず $y$ 切片は3．そして平方完成すると\[y=(x-2)^2-1\]であるから，頂点の座標は $(2,\ -1)$．
従ってグラフは次のようになり，$x$ 軸とは2点で交わっていることがわかった：
それでは具体的に $x$ 軸との共有点の $x$ 座標，すなわち $x$ 切片を計算してみよう．
$x$ 軸というのは $y$ 座標が0である点の集まりであるから，2次関数 $y=x^2-4x+3$ の $y$ を０とおいた
\[0=x^2-4x+3\]
を考えればよいであろう．
右辺を因数分解して，両辺を入れ替えると
\[(x-1)(x-3)=0\]
\[x=1,\ 3\]
つまり，$x$ 切片は1と3である．
ここで，はたと振り返る．ここまで一体何をやってきたのか．
私たちは2次関数 $y=x^2-4x+3$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を調べるのに2次方程式 $x^2-4x+3=0$ を解いたのである．つまり
2次関数から2次方程式へ
と議論を移したのである．
次は逆の2次方程式から2次関数へ
今度は 2次方程式について考えることから始めてみよう．
例 2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の実数解を，2次関数のグラフから捉えよ．
方程式の両辺を $y$ とおくと，
\[\left\{\begin{array}{l}
y=x^2-4x+3\\[5pt]
y=0
\end{array}\right.\]
つまり2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の実数解は，2つの関数 $y=x^2-4x+3$ と $y=0$ のグラフの共有点の $x$ 座標に現れるということがわかる．
私たちは，2次方程式の実数解を考えるのに，2次関数のグラフが利用できたことに注目すべきである．
2次方程式から2次関数へ
と議論を移したのである．
一般に，放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸 (直線 $y=0$ ) と共有点をもつとき，その $x$ 座標は， \[\left\{\begin{array}{l} y=ax^2+bx+c\\[5pt] y=0 \end{array}\right.\] から $y$ を消去した2次方程式 \[ax^2+bx+c=0\] の実数解である．
逆に，2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をもつとき，この2次方程式の左辺を $y$ とおいた放物線 $y=ax^2+bx+c$ は，右辺を $y$ とおいた直線 $y=0$ ($x$ 軸) と共有点をもつ．
つまり，次が成り立つ：
2次関数と2次方程式の関係 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は，2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ の実数解と等しい．
放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸と接する場合や，共有点をもたない場合も，それぞれ次のようになる：
接する $\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は重解をもつ
共有点をもたない$\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は実数解をもたない
2次関数のグラフと $x$ 軸との関係は，2次方程式の実数解の議論に持ち込む
例題 2次関数 $y=2x^2+4x+m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ．
考え方
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をもつかどうかは判別式 $D=b^2-4ac$ によって分かるから，次のようになる：
2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との関係は，2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると，\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\
&D=0\iff\mbox{接する}\\
&D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}
「2次関数の議論から2次方程式の議論へ」またはその逆の「2次方程式の議論から2次関数の議論へ」といった相互の乗り入れが自由にできるようにしておくことが重要である．
解答例を表示する
2次方程式 $2x^2+4x+m=0$ の判別式を $D$ とすると，
\[D/4=2^2-2m=2(2-m)\]
よって共有点の個数は，
\[\left\{\begin{array}{ll}
D/4>0(\iff m <2)\mbox{のとき} & 2\mbox{個}\\[5pt]
D/4=0(\iff m=2)\mbox{のとき} & 1\mbox{個}\\[5pt]
D/4 < 0(\iff m >2)\mbox{のとき} & 0\mbox{個}
\end{array}\right.\ \ \cdots(\mbox{答})\]
2次方程式 $2x^2+4x+m=0$ の判別式を $D$ とすると，
\[D/4=2^2-2m=2(2-m)\]
よって共有点の個数は，
\[\left\{\begin{array}{ll}
D/4>0(\iff m <2)\mbox{のとき} & 2\mbox{個}\\[5pt]
D/4=0(\iff m=2)\mbox{のとき} & 1\mbox{個}\\[5pt]
D/4 < 0(\iff m >2)\mbox{のとき} & 0\mbox{個}
\end{array}\right.\ \ \cdots(\mbox{答})\]
5.2 2次関数のグラフと直線
相手が $x$ 軸ではない一般の直線でも考え方は何一つとして変わらない
放物線と直線の共有点の $x$ 座標について，次の(A)，(B)の2つのケースを考えてみよう．
例 次の放物線と直線の共有点の $x$ 座標を求めよ．
(A) 放物線 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸
(B) 放物線 $y=x^2-2x+2$ と直線 $y=2x-1$
まず(A)は， $y=0$ とおいた
$x^2-4x+3=0$ …①
を解けばよい．因数分解して解くと $(x-1)(x-3)=0$．従って $x=1,\ 3$ である．
次(B)は，放物線 $y=x^2-2x+2$ と直線 $y=2x-1$ の2式から $y$ を消去して得られる $x^2-2x+2=2x-1$ を解けばよいが，整理すると
$x^2-4x+3=0$
となって，これは①式そのものである．つまり
(A)を考えることと(B)を考えることは同じ
なのである．放物線の相手が $x$ 軸だろうが，そうでない直線だろうが，整理して「$=0$」とした式が同じなら，結局 $x$ 軸との共有点を考えることに帰着されるのである．
例題 2次関数 $y=2x^2+5x$ のグラフと直線 $y=x-m$ との共有点の個数を求めよ．
考え方
放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ から $y$ を消去した
\[ax^2+bx+c=px+q\]
即ち2次方程式
\[ax^2+(b-p)x+c-q=0\]
について，
異なる2つの実数解をもつ $\iff$ 2点で交わる
重解をもつ $\iff$ 接する
実数解をもたない $\iff$ 共有点をもたない
がいえるから，次が成り立つ：
2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと 直線 $y\!=\!px\!+\!q$ の関係は，2次方程式 $ax^2\!+\!(b\!-\!p)x\!+\!c\!-\!q\!=\!0$ の判別式を $D$ とすると，\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\
&D=0\iff\mbox{接する}\\
&D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}
このことからわかるように，$y$ を消去して $x$ について整理してしまえば，結局は放物線と $x$ 軸との関係に帰着される．
解答例を表示する
放物線と直線の方程式から $y$ を消去すると，
\[2x^2+5x=x-m\]
\[\therefore\ 2x^2+4x+m=0\]
[ 上の例題 と同じ式になったから，これ以降はそちらの解答を参照．]
放物線と直線の方程式から $y$ を消去すると，
\[2x^2+5x=x-m\]
\[\therefore\ 2x^2+4x+m=0\]
[ 上の例題 と同じ式になったから，これ以降はそちらの解答を参照．]
5.3 2つの2次関数のグラフ
相手が2次関数，すなわち2次関数どうしの関係でも考え方は基本的に同じ
例題 次の2つの放物線について，共有点の個数を求めよ．
(1) $y=x^2-2x+2,\ \ y=-x^2+6x-4$
(2) $y=x^2-2x+2,\ \ y=x^2+6x-4$
(3) $y=x^2-2x+2,\ \ y=x^2-2x-4$