2次不等式の解き方｜グラフで理解する場合分けと解法をスライドでやさしく解説

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数学Ⅰ　第1章　2次関数

	スライド	ノート	問題
1. 2次関数のグラフ	[無料]
2. 関数のグラフの移動
3. 2次関数の最大・最小
4. 2次関数の決定
5. 2次関数のグラフと方程式
6. 2次不等式とグラフ
7. 2次方程式の解の配置

6.　2次不等式とグラフ

6.1　2次不等式

まずは1次不等式の復習から

例　1次不等式 $2 x - 6 > 0$ を解け．

　変形して $2 x > 6$ ． $x$ の係数2が正の数であることに注意をして，両辺を2で割ると $x > 3$ ．答えは $x > 3$ である．これを視覚的に捉えてみよう． $y = 2 x - 6$ のグラフは次のようになる．

　不等式 $2 x - 6 > 0$ を解くということは，この関数の値が $y > 0$ となる $x$ の値の範囲を考えることに他ならない．これはグラフが黄色で塗られた領域に属する $x$ の値の範囲を考えることで， $x > 3$ となることがわかる．

　このように不等式というのは

グラフを描いて視覚的に捉える

ことが大切である．

2次不等式は2次関数のグラフから考えるのが基本

例題　次の2次不等式を解け．
(1) $x^{2} - 2 x - 3 > 0$
(2) $x^{2} - 2 x - 3 < 0$

こたえ

　左辺の式はいずれも $x^{2} - 2 x - 3$ である．この式を変形すると $x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$ となるから，グラフは $x$ 軸と $- 1$ と $3$ で交わる．従って $y = x^{2} - 2 x - 3$ のグラフは次のようになる．グラフの上にある表は， $x$ が整数であるいくつかの値と，そのときの $y$ の値である．

　(1) $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ すなわち $y > 0$ のとき， $x < - 1, 3 < x$
　(2) $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ すなわち $y < 0$ のとき， $- 1 < x < 3$

　一般に次が成り立つ：

　 $a > 0$ とする．2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が異なる2つの実数解 $α, β (α < β)$ をもつとき，

$a x^{2} + b x + c > 0$ の解は $x < α, β < x$
$a x^{2} + b x + c ≧ 0$ の解は $x ≦ α, β ≦ x$
$a x^{2} + b x + c < 0$ の解は $α < x < β$
$a x^{2} + b x + c ≦ 0$ の解は $α ≦ x ≦ β$

補足

　 $a < 0$ のときは，両辺に $- 1$ を掛けて， $x^{2}$ の係数を正にしてから考えるとよい．これはつまらないケアレスミスを防ぐためである．
(このとき不等号の向きが変わるので注意．)

6.2　放物線が $x$ 軸に接する場合

グラフを使って目で考えるのが基本

例題　次の2次不等式を解け．
(1)　 $x^{2} - 2 x + 1 > 0$
(2)　 $x^{2} - 2 x + 1 ≧ 0$
(3)　 $x^{2} - 2 x + 1 < 0$
(4)　 $x^{2} - 2 x + 1 ≦ 0$

こたえ

　左辺はどれも同じで $x^{2} - 2 x + 1$ ．これを0とおいた2次方程式 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ は $(x - 1)^{2} = 0$ と変形できるから， $x = 1$ を重解にもつ．また左辺を $y$ とおいた2次関数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ のグラフは，頂点が $(1, 0)$ であるから $x$ 軸に $x = 1$ で接する下に凸な放物線である．
　よって答えは

(1)　 $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ の解は， $x < 1, 1 < x$
(2)　 $x^{2} - 2 x + 1 ≧ 0$ の解は，すべての実数
(3)　 $x^{2} - 2 x + 1 < 0$ の解は，なし
(4)　 $x^{2} - 2 x + 1 ≦ 0$ の解は， $x = 1$ (等式！)

※4番目の例では不等式の解が等式となっていることに注意．

　 $a > 0$ とする．2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が $p$ を重解にもつとき，

$a x^{2} + b x + c > 0$ の解は $x < p, p < x$
$a x^{2} + b x + c ≧ 0$ の解はすべての実数
$a x^{2} + b x + c < 0$ の解はなし
$a x^{2} + b x + c ≦ 0$ の解は $x = p$

6.3　放物線が $x$ 軸と共有点をもたない場合

ここでもグラフを使って目で考えるのが基本

例題　次の2次不等式を解け．
(1)　 $x^{2} - 2 x + 2 > 0$
(2)　 $x^{2} - 2 x + 2 ≧ 0$
(3)　 $x^{2} - 2 x + 2 < 0$
(4)　 $x^{2} - 2 x + 2 ≦ 0$

こたえ

　左辺はどれも同じで $x^{2} - 2 x + 2$ ．この左辺を $y$ とおいた2次関数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ を考えると， $y = x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$ となるから，グラフの頂点は $(1, 1)$ ．従ってグラフは $x$ 軸より上側にある下に凸な放物線である．よって

(1)　 $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ の解は，すべての実数
(2)　 $x^{2} - 2 x + 2 ≧ 0$ の解は，すべての実数
(3)　 $x^{2} - 2 x + 2 < 0$ の解は，なし
(4)　 $x^{2} - 2 x + 2 ≦ 0$ の解は，なし

　 $a > 0$ とする．2次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が実数解をもたないとき，

$a x^{2} + b x + c > 0$ の解はすべての実数
$a x^{2} + b x + c ≧ 0$ の解はすべての実数
$a x^{2} + b x + c < 0$ の解はなし
$a x^{2} + b x + c ≦ 0$ の解はなし

非常によくある間違い

数学Ⅱで複素数を習ったあとにしばしばみられる誤答

問題　 $x^{2} - 2 x + 2 < 0$ を解け．

誤答　 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ を解くと，解の公式から $x = 1 \pm i$ ．よって

$1 - i < x < 1 + i \dots$ (答)

　そもそも虚数に大小の概念はない．( $2 i < 3 i$ などは正しくない．)　2次不等式を考える際には常に2次関数のグラフとリンクさせて考えると間違いが少ない．

次は，7．2次方程式の解の配置
前は，5．2次関数のグラフと方程式

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