高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第2章 三角比
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 正接，正弦，余弦 | |||
| 2. 三角比の相互関係 | |||
| 3. 三角比の拡張 | |||
| 4. 正弦定理 | |||
| 5. 余弦定理 | |||
| 6. 三角形の面積 |
4．正弦定理
このノートでは，△ABCにおいて下図のように，$\angle{\rm A}$，$\angle{\rm B}$，$\angle{\rm C}$ の大きさをそれぞれ $A,\ B,\ C$ (斜体)で表し，頂点A，B，Cの対辺BC，CA，ABをそれぞれ $a,b,c$ (小文字の斜体)で表すものとする．
4.1 辺の長さと正弦
正弦定理とは，三角形における辺の長さと対応する角の正弦(sin)に関する定理を指すが，その内容と証明を示す前に，正弦定理を導くための補助定理ともいうべき次の定理から確認していこう．といっても，この補助定理から正弦定理までは，目と鼻の先である．
(正弦定理を導くための)定理
△ABCの外接円の半径を $R$ とすると，
\[\begin{align*} a&=2R\sin A,\\[5pt] b&=2R\sin B,\\[5pt] c&=2R\sin C \end{align*}\]
証明の流れ
- 直径をとる
↓ - 円周角の定理を用いて角を移動．
↓ - 直角三角形で考える．
証明
1° A < 90° のとき
$\angle A$が鋭角のとき
証明の流れ① 直径CDをとる．
証明の流れ② 円周角の定理 により，
\[\angle{\rm A}=\angle{\rm D},\ \angle{\rm DBC}=90^\circ\]
証明の流れ③ 直角三角形DBCにおいて，
\[{\rm BC}={\rm DC}\sin D\]
三角形の辺の長さを sin で表す方法についてはこちら を参照．
DCは△BCDの外接円の直径であるから
\[a=2R\sin A\]
2° A = 90° のとき
${\rm BC}=2R,\ \sin A=\sin 90^\circ=1$ であるから，
\[a=2R\sin A\]
3° A > 90° のとき
