10. 関数の極大・極小【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

	スライド	ノート	問題
1. 微分係数と導関数	[無料]
2. 合成関数の導関数	[無料]
3. 逆関数の微分法	[無料]
4. 三角関数の導関数
5. 対数関数・指数関数の導関数
6. 媒介変数表示と導関数
7. 陰関数の導関数
8. 平均値の定理
9. 関数の値の変化
10. 関数の極大・極小
11. 関数のグラフ

10．関数の極大・極小

10.1 極大・極小

　極大・極小については数学Ⅱ で既出である．極大や極小については数学Ⅱの方で詳細に説明したのでそちらを参照されたい．

注意

　極大・極小は，微分可能性とは無関係である．例えば，関数$f(x)=|x|$ は，$x=0$ で微分可能ではないが，$x=0$ で極小となっている．

10.2 $f(a)$ が極値であるための必要条件

　微分可能な関数 $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるとする．このとき $f^{\prime }(a)=0$ が成り立つ．これは数学Ⅱの微分法のときにもお世話になっていたものである．$f^{\prime }(a)=0$ は $f(x)$ が $x=a$ で極値をとるための必要条件である．

発展的補足

　$f(x)$ が整式の場合などほとんど明らかと思われるこの定理．実際教科書にも証明が書かれていない．しかし例えば次の関数は $x=0$ で極小となるが，$x=0$ の付近で無限回振動するから，本当に $f^{\prime }(0)=0$ なのかは明らかではない．（この関数については次節10.3に詳細な説明有．）

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2(\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}+2)& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$$

　そこでこの定理を証明する．

証明

　ある開区間で微分可能な関数 $f(x)$ が，区間内の $x=a$ で極大になるとすれば，区間内の任意の $x$ について

$f(x)\leqq f(a)\cdots$ ①

が成り立つ．$x=a$ で微分可能であるから

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$$

となるが，①より左辺の分子は常に0以下であることに注意する．ここで $x\to a+0$ のとき，$x-a\to +0$ であるから

$$\underset{x\to a+0}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leqq 0\therefore f^{\prime }(a)\leqq 0$$

　一方，$x\to a-0$ のとき，$x-a\to -0$ であるから

$$\underset{x\to a-0}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geqq 0\therefore f^{\prime }(a)\geqq 0$$

　従って，$f^{\prime }(a)\leqq 0$ かつ $f^{\prime }(a)\geqq 0$ となるから， $f^{\prime }(a)=0$．

　$x=a$ で極小となる場合も同様である．

■

注意

　逆 $(\Leftarrow )$ は成り立たない．
　(反例)　$f(x)=x^3$ のとき，$f^{\prime }(x)=3x^2$ より $f^{\prime }(0)=0$．しかるに $f(0)$ は極値ではない．

10.3 $f(a)$ が極値であるための十分条件

　前節10.2では，「$f(a)$ が極値である」というのが仮定で，「$f^{\prime }(a)=0$」 というのが結論であった．今度は逆に，「$f(a)$ が極値である」が結論にくるような命題を見てみよう．「　　　　は $f(a)$ が極値であるための十分条件である」の下線部に入るようなものである．

証明

①　$x<a$ で $f^{\prime }(x)>0$ であるから，区間内の $x\leqq a$ で $f(x)$ は単調に増加する．従って区間内のすべての $x(<a)$ で $f(x)<f(a)$．
　また，$x>a$ で $f^{\prime }(x)<0$ であるから，区間内の $x\geqq a$ で $f(x)$ は単調に減少する．従って区間内のすべての $x(>a)$ で $f(x)<f(a)$．
　従って，この開区間において $f(a)$ は最大値となるから極大値である．

②　①と同様に示される．

■

発展的注意

　逆 $(\Leftarrow )$ は成り立たない．
　(反例)

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2(\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}+2)& (x\ne 0\text{のとき})\\ 0& (x=0\text{のとき})\end{array}$$ 　

　この関数 $f(x)$ は $x\ne 0$ のとき，

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =2x(\cos \frac{1}{x}+2)+x^2\{-\sin \frac{1}{x}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})\}\\ & =2x(\cos \frac{1}{x}+2)+\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

であるから微分可能．また $x=0$ でも微分可能で，$f^{\prime }(0)=0$．実際，

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2(\cos \frac{1}{x}+2)}{x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}x(\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}+2)\\ & =0(\because \text{はさみうちの原理})\end{array}$$

　また，$-1\leqq \cos {\displaystyle \frac{1}{x}}\leqq 1$ より $1\leqq \cos {\displaystyle \frac{1}{x}}+2\leqq 3$ であるから，$f(x)$ のグラフは放物線 $y=x^2$ の上側かつ $y=3x^2$ の下側となり，$f(0)=0$ と定義されていることから $f(0)$ は極小値である．
　ところが，$f(x)$ は $x=0$ の近くで $x^2$ と $3x^2$ の間を無限回振動するから，$f^{\prime }(x)$ の符号は $x<0$ 及び $x>0$ それぞれで定符号ではない．

10.4 ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ の極値

微分可能な関数 ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ が，$x=a$ で極値をとるならば， $$\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}(\text{ただし},g^{\prime }(a)\ne 0)$$

証明

　$h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ とおくと， $$h^{\prime }(a)=\frac{f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{\{g(a){\}}^2}=0$$ であるから， $$\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$$

■

例題　$f(x)={\displaystyle \frac{4x+3}{x^2+1}}$ の極値を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{-2(x+2)(2x-1)}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$$ 　よって増減表は次のようになる：



　ここで，${\displaystyle \frac{(4x+3{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{4}{2x}}={\displaystyle \frac{2}{x}}$ により，
　　極小値：$f(-2)={\displaystyle \frac{2}{-2}}=-1$
　　極大値：$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{2}}}=4$

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